Variétés d'espaces 3D euclidiens

[jo314]

Bonjour,

Je cherche une liste exhaustive avec des schémas (polyèdres dont les faces sont identifiées 2 à 2) des 18 sortes d'espaces 3D euclidiens.
Je sait qu'il y en a 10 orientables et 8 non orientables.
Le problèmes c'est que je ne trouve nulle part la liste des 8 non orientables.

Pour les 10 orientables j'ai trouvé ça : http://eljjdx.canalblog.com/archives.../17467705.html
On en a 10 infinis :
- l'espace "classique" ℝ³.
- l'espace plaque.
- l'espace cheminée direct.
- l'espace cheminée indirect.

et 6 finis :
- l'espace cubique.
- l'espace cubique quart de tour.
- l'espace cubique demi-tour.
- l'espace prismatique hexagonal sixième de tour.
- l'espace prismatique hexagonal tiers de tour.
- l'espace cubique double.

Mais rien en ce qui concerne les 8 espaces 3D non orientables !
Intuitivement j'ai quelques idées (NB : je ne les connais pas donc j'ai donnée mes propres dénominations) :
1) l'espace plaque de Möbius.
Les espaces cheminées à simple symétrie (2 faces opposées identifiées avec symétrie axiale, les 2 autres sans symétrie) :
2) sans rotation dans les 2 sens.
3) sans rotation dans le sens de la symétrie et avec rotation de 180° dans l'autre sens.
4) avec rotation de 180° dans le sens de la symétrie et sans rotation dans l'autre sens.
5) avec rotation de 180° dans les 2 sens.
Les espaces cheminées à double symétrie (les faces opposées identifiées avec symétrie axiale) :
X) je ne les compte pas car on doit obtenir un équivalent 3D du plan projectif (mais infini dans une direction) avec une courbure positive.
Les espaces cubiques à simple symétrie (2 faces opposées identifiées avec symétrie axiale, les autres sans symétrie) :
6) l'espace cubique quart de tour avec symétrie dans la direction quart de tour.
7) l'espace cubique quart de tour avec symétrie dans une autre direction.
8) l'espace cubique demi-tour avec symétrie dans la direction demi-tour.
9) l'espace cubique demi-tour avec symétrie dans une autre direction.
Les espaces cubiques à double symétrie :
X) non comptés car on doit avoir un espace intermédiaire entre le plan et l'espace projectif, avec une courbure positive.
L'espace cubique à triple symétrie :
X) non compté car ce doit être l'espace projectif, avec une courbure positive.

Je pourrais continuer avec les espaces prismatiques et bicubiques mais j'en ai déjà dénombré 9 alors qu'il est censé n'y en avoir en tout que 8.
Donc où ai-je commit une erreur (certaines opérations doivent être interdites pour des raisons qui m'échappe) ? et quelle est la vrai liste ?

Question subsidiaire : combien y a-t-il de variétés d'espaces pour un nombre de dimensions donnée ? Et combien sont finies, infinies, orientables, non orientables ?

En 1D on en a 2 : la droite et le cercle (l'orientabilité ne s'applique pas ici).
En 2D il y en a 5 :
- 3 orientables : le plan, le cylindre et le tore.
- 2 non orientables : le ruban de Möbius et la bouteille de Klein.
En 3D il y en a 18 (reste à définir précisément lesquelles).
En 4D et au-delà je n'en sais rien.

Merci d'avance.
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[toothpick-charlie]

Oui tout est dans "euclidien". Autrement, pour ce qui concerne la classification des variétés topologiques de dimension 3, il y a des choses très intéressantes dans le livre de Fomenko (Visual Geometry and Topology) que je recommande chaudement, bien que la mauvaise traduction le rende difficile à lire par endroits.

[Amanuensis]

Dans euclidien, et un peu plus. La définition exacte m'échappe, car elle n'est pas "qu'on peut munir d'une métrique donnant une courbure partout nulle". (Le plan moins deux points et muni de la métrique euclidienne ne paraît pas acceptable.) Pas "euclidien" à un sens tel que tout ouvert connexe d'une variété euclidienne serait une variété euclidienne si muni de la métrique induite.

Mais c'est un détail qui ne change rien fondamentalement à la question.

[jo314]

J'ai fini par trouver la réponse dans un documents de J.P. Luminet : Géométrie et topologie en cosmologie relativiste (voir page 15).

On a les espaces suivants :
1) l'espace "classique" ℝ³ (∞/o).
2) l'espace plaque (∞/o).
3) l'espace plaque avec retournement (∞/no).
4) l'espace cheminée (∞/o).
5) l'espace cheminée demi-tour (∞/o).
6) l'espace cheminée avec retournement horizontal (∞/no).
7) l'espace cheminée avec retournement vertical (∞/no).
8) l'espace cheminée avec retournement vertical et demi-tour (∞/no).
9) l'espace cubique (f/o).
10) l'espace cubique quart de tour (f/o).
11) l'espace cubique demi-tour (f/o).
12) l'espace prismatique hexagonal sixième de tour (f/o).
13) l'espace prismatique hexagonal tiers de tour (f/o).
14) l'espace de Hantzsche-Wendt (f/o).
15) l'espace de Klein (f/no).
16) l'espace de Klein avec retournement horizontal (f/no).
17) l'espace de Klein avec retournement vertical (f/no).
18) l'espace de Klein demi-tour (f/no).

f : espaces finis.
∞ : espaces infinis.
o : espaces orientables.
no : espaces non orientables.

Cela nous donne :
10 espaces finis + 8 infinis.
10 espaces orientables + 8 non orientables.

Il ne manque que l'espace cubique double qui est équivalent à l'espace de Hantzsche-Wendt.

Il ne reste maintenant plus qu'à trouver la listes des espaces 4D et plus !

[A voir en vidéo sur Futura]