Uniformément continu sur tout intervalle compacte

[inviteca4b9b9d]

Salut à tous, j'ai un petit problème à résoudre un exercice sur la continuité uniforme. En fait on m'a dit:
Soit f et g deux fonctions de classe C(infini) et la fonction définie par s(x)=∫(0 à 1)g(t)f(xt)dt ensuite de montrer que
pour tout ε>0, il existe α>0 tel que quel que soit t dans [0,1] si h<α alors |f(xo.t+h.t)-f(xo.t)|<α (xo un reel de R)
J'ai utilisé le fait que f est de classe C(infini) donc continue sur tt intervalle de R, ces derniers sont tous des compactes on en deduit que f est UC sur tout intervalle de R . Ensuite je prend les point xo.t+ht et xot mais pour la définition de l'UC j'ai tjrs |ht|<a alors qu'on me demande h<α.
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[invite7d411dcd]

Si j'ai bien compris, à la fin, tu as montré que pour tout epsilon strictement positif, il existe a strictement positif tel que quelque soit t dans [0,1] si |ht|<a, alors |f(xo.t+h.t)-f(xo.t)|<α, xo étant un réel. Si tu as montré ça, tu as fini, puisque h<a implique évidemment ht<a...

Bonne continuation !

[inviteca4b9b9d]

Oui mais moi je cherche l'implication réciproque!!! Dans mon raisonnement par l'UC de f sur [xo.t+ht, xo.t] , j'ai : il existe a>0 tel si |ht|<a alors |f(xo.t+h.t)-f(xo.t)|<α Mais là je doit généralisé en disant il existe a>0 tel si |h|<a alors .........................
Je sais que le quel que soit t dans [0,1] est important mais comment l'utiliser????

[invite7d411dcd]

Il te reste donc à démontrer : "Si |ht|<a pour tout t de [0,1], alors h<a, ce qui est trivial si a>0, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]