NOYAU et injectivité

[invite0380ebeb]

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi on dit que si le noyau d'une application linéaire est égale à l'élément neutre ( 0 pour les espaces vectoriels) alors l'application est injective, c'est à dire possède un seul antécédent. Par exemple si je prend une application f de E dans F, il faut que ker(f)=0; Donc que l'image de l'élement nul de E soit l'élement nul de F.
Et ce qui me pose problème c'est que si je prends une application de R dans R, par exemple f(x)=x+1 alors f(x)=0 ça donne ker(f)=-1, donc f(x) a priori n'est pas injectif puisque que ker(f) est différent de 0
Pourtant une application linéaire tel que f(x)=x+1 est injective elle est meme bijective de R dans R !

Voilà je ne comprends cette contradiction, je pense que je mélange certaines notions, mais je n'arrive pas à savoir lesquelles, merci de m'éclairer
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[Médiat]

Bonjour,

il faut que ker(f)=0; Donc que l'image de l'élement nul de E soit l'élement nul de F.

Non, c'est l'image réciproque du 0 de F qui doit être le 0 de E.

Et ce qui me pose problème c'est que si je prends une application de R dans R, par exemple f(x)=x+1

Qui n'est pas une application linéaire, donc le théorème n'a aucune raison de s'appliquer.

[gg0]

Bonjour.

Ce qui simplifie pour les applications linéaires, c'est que f(x)=f(y) se transforme en f(x)-f(y)=0 puis f(x-y)=0.
Le lien avec l'injectivité est alors facile.

On ne peut pas faire ça avec ta fonction f(x)=x+1 qui n'est pas linéaire.

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

Juste une petite remarque : Une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que soit linéaire est que , ce qui n'est pas le cas pour tel que

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Je ne comprends pas pourquoi on dit que si le noyau d'une application linéaire est égale à l'élément neutre ( 0 pour les espaces vectoriels) alors l'application est injective, c'est à dire possède un seul antécédent. Par exemple si je prend une application f de E dans F, il faut que ker(f)=0; Donc que l'image de l'élement nul de E soit l'élement nul de F.
Et ce qui me pose problème c'est que si je prends une application de R dans R, par exemple f(x)=x+1 alors f(x)=0 ça donne ker(f)=-1, donc f(x) a priori n'est pas injectif puisque que ker(f) est différent de 0
Pourtant une application linéaire tel que f(x)=x+1 est injective elle est meme bijective de R dans R !

Autre remarque : Attention à la terminologie et à l'écriture là où j'ai mis en rouge dans ta citation, est un ensemble de vecteurs, et non pas un vecteur.

Cdt