noyau et image d'une application

[invite0380ebeb]

Salut à tous, pouvez m'aider pour cette exercice:

Soit l'application f1: R3->R f1(x,y,z)=x+y+z

1)Déterminer ker f et dim ker f

2)Déterminer im f et dim im f


1) Pour ker f je pose f(x,y,z)=0, donc x+y+z=0, et finalement ker f=(x,y,z). Une base de ker f est: e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) ici comme c'est la base de canonique de R3 inutile de verifier leurs indépendance

2) je dirais d'apres le théorème du rang que dim im f=0 puisque dim ker f=3 mais bon ça me parrait aberrant que la dimension de l'image soit nul..

merci de m'aider!
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[inviteea028771]

Si une base de Ker(f) est e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) , alors f(e1) = 0, ce qui n'est visiblement pas le cas

[gg0]

Pour (x,y,z)=(1,0,0), on n'a pas x+y+z=0.

Un peu de sérieux dans la réflexion, STP.

Cordialement.

[invite0380ebeb]

si je raisonne plus intuitivement je dirais qu'une base de ker f serait: e1=(-2,1,1) e=(1,-2,1) on aurait bien une base de dim 2, pour le noyau, et pour l'image dim im f=1, voila ça me semble plus cohérent... c'est juste?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

si je raisonne plus intuitivement (...)

Cela ne fait pas une justification !

[invite0380ebeb]

Hmm je ne sais pas justifier cela. Mais je dirais que pour le noyau il faudrait décrire l'ensemble des solutions pour x+y+z=0 mais comment faire cela?

[gg0]

Plus exactement,

l'ensemble des triplets (x,y,z) tels que x+y+z=0.
Déjà, ça ne donne pas tous les triplets, donc la dimension est inférieure à 3.
Ensuite, il est facile d'en trouver des exemples, et si on en trouve 2 linéairement indépendants, on aura gagné. Enfin, si tu connais ton cours.

A toi de faire ...

[invite8443be11]

Bonsoir,

Je trouve Vect( (1,0,-1), (0,1,-1) ) , et dim(Ker(f)) = 2.
Est-ce bon ?

[PlaneteF]

Il y a des tas de façon de justifier que

On peut remarquer que donc est isomorphe à

On peut remarquer aussi que est l'équation d'un hyperplan.

Ou encore on peut dire que n'étant pas l'application nulle, et puisque l'espace d'arrivée est on a donc nécessairement . D'après le théorème du rang il vient


Cdt

[PlaneteF]

... ou encore le message#8 que je n'avais pas vu ! (si l'on justifie que les 2 vecteurs donnés forment une base).