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noyau et image d'une application



  1. #1
    jbcm

    noyau et image d'une application


    ------

    Salut à tous, pouvez m'aider pour cette exercice:

    Soit l'application f1: R3->R f1(x,y,z)=x+y+z

    1)Déterminer ker f et dim ker f

    2)Déterminer im f et dim im f


    1) Pour ker f je pose f(x,y,z)=0, donc x+y+z=0, et finalement ker f=(x,y,z). Une base de ker f est: e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) ici comme c'est la base de canonique de R3 inutile de verifier leurs indépendance

    2) je dirais d'apres le théorème du rang que dim im f=0 puisque dim ker f=3 mais bon ça me parrait aberrant que la dimension de l'image soit nul..

    merci de m'aider!

    -----
    Dernière modification par jbcm ; 04/07/2014 à 17h39.
    Un potentiel ne vaut que par sa réalisation

  2. Publicité
  3. #2
    Tryss

    Re : noyau et image d'une application

    Si une base de Ker(f) est e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) , alors f(e1) = 0, ce qui n'est visiblement pas le cas

  4. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : noyau et image d'une application

    Pour (x,y,z)=(1,0,0), on n'a pas x+y+z=0.

    Un peu de sérieux dans la réflexion, STP.

    Cordialement.

  5. #4
    jbcm

    Re : noyau et image d'une application

    si je raisonne plus intuitivement je dirais qu'une base de ker f serait: e1=(-2,1,1) e=(1,-2,1) on aurait bien une base de dim 2, pour le noyau, et pour l'image dim im f=1, voila ça me semble plus cohérent... c'est juste?
    Un potentiel ne vaut que par sa réalisation

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    PlaneteF

    Re : noyau et image d'une application

    Bonjour,

    Citation Envoyé par jbcm Voir le message
    si je raisonne plus intuitivement (...)
    Cela ne fait pas une justification !
    Dernière modification par PlaneteF ; 04/07/2014 à 18h32.

  8. #6
    jbcm

    Re : noyau et image d'une application

    Hmm je ne sais pas justifier cela. Mais je dirais que pour le noyau il faudrait décrire l'ensemble des solutions pour x+y+z=0 mais comment faire cela?
    Un potentiel ne vaut que par sa réalisation

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  10. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : noyau et image d'une application

    Plus exactement,

    l'ensemble des triplets (x,y,z) tels que x+y+z=0.
    Déjà, ça ne donne pas tous les triplets, donc la dimension est inférieure à 3.
    Ensuite, il est facile d'en trouver des exemples, et si on en trouve 2 linéairement indépendants, on aura gagné. Enfin, si tu connais ton cours.

    A toi de faire ...

  11. #8
    Smooth56

    Re : noyau et image d'une application

    Bonsoir,

    Je trouve Vect( (1,0,-1), (0,1,-1) ) , et dim(Ker(f)) = 2.
    Est-ce bon ?

  12. #9
    PlaneteF

    Re : noyau et image d'une application

    Il y a des tas de façon de justifier que

    On peut remarquer que donc est isomorphe à

    On peut remarquer aussi que est l'équation d'un hyperplan.

    Ou encore on peut dire que n'étant pas l'application nulle, et puisque l'espace d'arrivée est on a donc nécessairement . D'après le théorème du rang il vient


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 04/07/2014 à 20h50.

  13. #10
    PlaneteF

    Re : noyau et image d'une application

    ... ou encore le message#8 que je n'avais pas vu ! (si l'on justifie que les 2 vecteurs donnés forment une base).
    Dernière modification par PlaneteF ; 04/07/2014 à 20h53.

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