Résolution d'équation différentielles linéaire d'ordre 1

[invite47c6039b]

Bonjour, durant les vacances, je me prépare à ma future première année de médecine, et voila que je suis confronter à un petit problème en math.

Le but est de résoudre une équation du genre y'+ay=g(x) avec g(x)=0.
J'arrive a faire les éxercices en appliquant la méthode ( y=C e^(-ax) ), mais il y a un passage que je ne comprend pas dans la résolution :

On arrive à (dy/y)=-a*dx ==> on intègre et l'on trouve comme integrale de (dy/y) : ln(y).
Je comprend que ln(y) soit l'intégrale de 1/y, mais pas de (dy/y).

Pourriez vous m'éclairer ?

Merci d'avance !

Jérôme
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[albanxiii]

Bonjour,

.

@+

[invite6919e4bc]

Salut,

c'est de la résolution à la "fac de médecine", ou à la physicienne ça dépend...

En gros ce qui est dit, c'est ça :


Ensuite tu trouves :

[albanxiii]

Re,

"A la physicienne", c'est d'écrire .

Je vous laisse trouver pourquoi.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47c6039b]

Je ne comprends toujours pas ..
On va essayer autrement.

(y/dx) : cela veut dire que l'on dérive y par sa variable "x", c'est bien ca ?
Mais du coup, que signifie le (dy/y) ?

[gg0]

Bonjour.

Je suppose que tu voulais écrire : "(dy/dx) : cela veut dire que l'on dérive y par sa variable "x" ".
dans un premier temps, je vais revenir sur la résolution, puis je reparlerai du dy. On suppose ici que y est une variable, fonction de x : y=f(x).
On a donc y'+ay = 0 dont on déduit (si y ne s'annule pas toujours, et en une valeur x où y est non nulle)

On intègre (reconnaissance de deux dérivées égales) : ln(|y|)=-ax+k
Puis en prenant l'exponentielle |y|=exp(-ax+k)=exp(k).exp(-ax)
Si y >0 on prends C=exp(k), sinon C=-exp(k) et finalement

Voilà, je suis passé sur quelques détails (liés aux conditions initiales dont tu n'as pas parlé).

Une autre présentation utilise les différentielles (cas simple), et reprends des méthodes utilisées depuis le dix-septième siècle sans trop de souci :
Par définition (notations des dérivées) :
En considérant le premier membre comme une fraction (donc formellement, mais c'était l'idée au départ de cette notation) on donne un sens à la notation dy (la différentielle de y) : dy=f'(x)dx
Reste ce dx, pas vraiment défini encore, mais comme si f(x)=x, la différentielle de x est dx = 1 dx, on voit que ce dx est tout simplement la différentielle de la "fonction x".
Quand on n'a pas besoin d'une grande rigueur (parce que les fonctions seront simples), on fait souvent la confusion entre la fonction f et l'écriture f(x) pour x lettre; comme je l'ai fait en parlant de "fonction x", ou même ce qu'on a fait par sous-entendu en écrivant l'équation différentielle (y est une lettre, pas le nom d'une fonction). Dans ce cadre, l'utilisation des différentielle est aisée, les formules de dérivation donnent des formules de différentielles, comme par exemple si y=ln(x), dy = dx/x (on est très proche de ton dy/y) et l'intégrale s'applique à des différentielles, puisque f(x)dx est une différentielle si f est une dérivée (a une primitive).

Cordialement.

[Murayama]

Bonjour!


C'est ça, on va essayer autrement.

Avant tout, il faut comprendre le sens des notations. On a une fonction
y, mais elle dépend de x. On peut la noter y tout court ou y(x).
Ensuite, y', pareil, c'est la dérivée de y(x) et on peut la noter aussi
y'(x). Maintenant, si on réécrit l'équation de départ, on a:

y'(x) + ay(x) = 0

Ensuite, vous avez raison de la mettre sous la forme suivante, c'est à
dire de grouper les fonctions d'un côté+

y'(x) = -ay(x)

donc y'(x) / y(x) = -a

Ça tilte, là?

L'erreur que vous faites est d'intégrer 1/y en log(y).
L'intégrale de 1/x est bien log(x), mais la subtilité ici est que ce n'est
pas x, mais une fonction de x. Vous avez dû apprendre que la primitive
de u'/u est log(u) pour reprendre les définitions de terminal avec les mêmes
lettres. Il faut absolument apprendre à raisonner avec n'importe quel
symbole et ne pas attendre que l'on vous repose le problème sous la forme
u'(x) + au(x) = 0

Pascal

[invite47c6039b]

Un grand merci a vous, Pascal, vous m'avez éclairé !

Merci aussi aux autres pour votre temps et vos aides !

Jérôme