Resoudre equation trigonometrique

[invite36132434]

J'ai une equation à résoudre:

tan(15x)*tan(11x)=-1

j'ai fait :
tan(15x)=-1/tan(11x)
tan(15x)=-cot(11x)
Mais comment faut-il faire pour trouver x svp?
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[invite936c567e]

Bonsoir

Tu as fait deux transformations de l'équation sans te demander où cela allait mener, puis tu demandes quoi faire ensuite. Ce n'est assurément pas la bonne façon de procéder.

Tenter des transformations peut t'aider à découvrir dans l'équation des propriétés intéressantes qui t'auraient échappé. Mais si cela n'aboutit à rien, il n'y a pas de raison de les garder dans la démarche de résolution. On ne fait pas les choses sans raison.

Ce que tu as fait peut néanmoins aboutir, si par exemple tu remarques que tan() et -cotan() représentent la même fonction à une translation près.

Mais d'après moi, exprimer tan() en fonction de sin() et cos() permet de transformer l'équation d'une façon plus facilement exploitable, avec au bout du compte un résultat beaucoup plus immédiat.

[invite36132434]

j'ai fait autre chose: tg(15x)*tg(11x)/tg(11x) = -1/tg(11x)
tg(15x)=-1
donc -15x=pi/4
x=-pi/60

C'est correct ?

[invite7c2548ec]

Bonjour :

j'ai fait autre chose: tg(15x)*tg(11x)/tg(11x) = -1/tg(11x)
tg(15x)=-1
donc -15x=pi/4
x=-pi/60

C'est correct ?

S'auto-corriger essayer de remplacé x=-pi/60 dans l'équation de l’énoncé pour voir .


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36132434]

ce n'est pas correct, pouvez-vous me donnez une piste svp?

[breukin]

Des pistes ont été données :
- exprimer cotan en fonction de -tan (faire un dessin => translation), et reporter dans la relation que vous aviez trouvée : tan(15x)=-cotan(11x)
- exprimer l'équation avec sin et cos

[JPL]

La charte du forum que tu dois lire en t'inscrivant dit :

La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

ce n'est pas correct, pouvez-vous me donnez une piste svp?

Le mieux à mon avis c'est d' écrire ;

Vous aurais

Effectuez un changement de variable et

Encore faut utiliser c'est identités re remarquable:





Puit remplacer ces formules et dans

Enfin résoudre un système de deux équations à 2 inconnues ça va être long comme calcule mais c'est le bon chemin c'est ce que je pense .


Amicalement

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

je crains qu'il faut remplacer seulement l’équation

dans puits je renonce au système là aussi faut chercher une 2 ièm équation !! (obstacle ) car nous avons deux inconnus et et une seule équation (1).

Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :
Je reprend tout en ce référent aux conseille de

Bonsoir
Mais d'après moi, exprimer tan() en fonction de sin() et cos() permet de transformer l'équation d'une façon plus facilement exploitable, avec au bout du compte un résultat beaucoup plus immédiat.

Ainsi que

Des pistes ont été données :
- exprimer l'équation avec sin et cos

Puit j'annule les messages #8,#9.

Si notre équation et



on pose ici et










continuer maintenant je crois que c'est facile à résoudre ...


Cordialement

[acx01b]

moi je préfère utiliser et

ça me donne un quotient de 4 exponentielles sur 4 exponentielles,
puis une égalité 4 exponentielles = K fois 4 exponentielles
qui se simplifie en 2 exponentielles = K fois 2 exponentielles
d'où on a une équation cos machin = bidule qui se résout facilement

et ça ne marche que si K = 1 ou -1, sinon je ne crois pas que ça se résolve en "closed form"

[invite36132434]

Merci topmath,
je comprend un peu mieux,

j'ai donc fait:
tg(15x)tg(11x)=-1
sin(15x)sin(11x)=-cos(15x)cos(11x)
sin(15x)sin(11x)+cos(15x)cos(1 1x)=0
cos(15x-11x)=0
cos(4x)=cos(pi/2)

x=+ ou - pi/8 +2kpi

[invite7c2548ec]

Bonjour :

Salut sinay très juste .

Cordialement

[gg0]

Non, c'est faux !

Il manque la plupart des solutions.
Comme pour l'autre sujet, il manque un apprentissage sérieux du traitement des équations de la forme cos(A)=cos(B)

Cordialement.

[invite936c567e]

On peut pas parachuter un « +2kπ » à la fin d'un raisonnement sous prétexte qu'on traite des fonctions trigonométriques.

D'une manière plus générale, pour démonter les solutions d'une équation, on doit procéder soit directement par équivalences successives (⇔), soit par implications successives (⇒) à condition d'éliminer à la fin les solutions candidates qui ne conviennent pas à l'équation de départ. En revanche, l'introduction d'une pure implication réciproque (⇐) fausse le raisonnement.

C'est justement une implication réciproque qui lie l'avant-dernière à la dernière ligne de la résolution.

En effet si on a bien :

¨¨ x=±π/8+2kπ | k∈ℤ ⇒ cos(4x)=cos(π/2)

en revanche l'inverse n'est pas vrai. Par exemple, on a bien cos(4·(π/4))=cos(π/2), mais aucun k∈ℤ ne vérifie π/4=±π/8+2kπ.


Et si l'on procède par équivalences, alors par exemple quand on passe de :

¨¨ tg(15x)tg(11x)=-1

à :

¨¨ sin(15x)sin(11x)=-cos(15x)cos(11x)

il convient de préciser qu'on exclut les x vérifiant cos(15x)=0 et cos(11x)=0, pour lesquelles l'une ou l'autre des tangentes de la première ligne ne sont pas définies.


Bref cela manque beaucoup de rigueur.

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

Effectivement il manque d'autres solutions mais prédécesseurs ont raison , pardonner moi sinay voici une solution abréger:



Cordialement

[invite936c567e]

Oups... erreur de copier-coller. Il faut lire :

" Par exemple, on a bien cos(4·(π/8+π/4))=cos(π/2), mais aucun k∈ℤ ne vérifie π/8+π/4=±π/8+2kπ. "

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

Oups... erreur de copier-coller. Il faut lire :

" Par exemple, on a bien cos(4·(π/8+π/4))=cos(π/2), mais aucun k∈ℤ ne vérifie π/8+π/4=±π/8+2kπ. "

Salut PA5CAL j'ai pas bien saisis votre exemple la solution est sur walfram .

Cordialement

[invite936c567e]

Mon exemple sert juste à démontrer que π/8+π/4 est une solution, mais qu'elle ne figure pas dans celles trouvées par sinay (±π/8+2kπ). Je l'ai mise sous cette forme pour montrer clairement la corrélation (π/8+...).


S'agissant du service Wolfram Alpha, il donne bien des solutions, mais la façon de les présenter n'est pas toujours des plus claires et efficaces. C'est la raison pour laquelle je déconseille fortement aux étudiants de l'utiliser.

Dans le cas présent, l'ensemble des solutions peut s'exprimer bien plus simplement, en une seule ligne au lieu de quatre. Mais il arrive parfois que la présentation de la solution soit bien plus catastrophique (je l'ai déjà vu donner comme solution une longue formule tenant sur plusieurs lignes et contenant des fonctions exotiques, alors qu'on aurait pu se contenter d'une combinaison de seulement deux fonctions usuelles).

Le meilleur moyen de trouver les solutions sous une forme optimale et compréhensible est de faire soi-même correctement le travail. Du reste, sans cela l'exercice n'aurait pas d'intérêt. Le but est d'apprendre, pas juste de trouver une solution.

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

Mon exemple sert juste à démontrer que π/8+π/4 est une solution, mais qu'elle ne figure pas dans celles trouvées par sinay (±π/8+2kπ). Je l'ai mise sous cette forme pour montrer clairement la corrélation (π/8+...).

Ok moi aussi m'intéresse cette exercice je vois que vous avez raison de dire :

il convient de préciser qu'on exclut les x vérifiant cos(15x)=0 et cos(11x)=0, pour lesquelles l'une ou l'autre des tangentes de la première ligne ne sont pas définies.

Oui normalement dans ce type d'exercice avant tous calcule on doit tout d'abord donner le domaine de définition ce qui n'était pas fais .
Remarque importante Dans ce type d'exercice n'est il pas souhaitable encore de calculer aussi la période de cette fonction car cette période nous aide à limitée le nombre des inconnues à calculer pour évité une répétition de celles ci .

S'agissant du service Wolfram Alpha, il donne bien des solutions, mais la façon de les présenter n'est pas toujours des plus claires et efficaces. C'est la raison pour laquelle je déconseille fortement aux étudiants de l'utiliser.

Oui ça m'est arriver plusieurs fois que Walfram Alpha donne des résultat disant qui sont pas faut mais bizard , le mieux comme vous l'avais dit c'est de faire sois meme le calcul pour ne pas perdre par cette habitude les belle méthode de calcule Merci encore PA5CAL.

Cordialement