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**bbdoll** · 17/02/2006, 20h57

Bonjour,
J' ai un problème sur un exercice des suite.Voilà on au une suite un definie pourt tout n supérieure ou égale à 1 par racine de (n+Un-1). On nous demande de montrer que Un est supérieure où égale a n.C' est facile pour n égale 1 mais après....Voilà, je les tourné dans tous les sens et j' y arrive pas. Je pense que la suite est croissante est-ce que ca peut m' aidé???

**GuYem** · 17/02/2006, 21h04

La suite est croissante, c'est sur.

Mais cela ne suffit pour montrer qu'elle est supérieure à n à tous les rangs.

Tu as essayé de faire une récurrence ?

**matthias** · 17/02/2006, 21h13

Envoyé par GuYem

La suite est croissante, c'est sur.

C'est peut-être sûr quand on a compris la définitiion de la suite, ce qui n'est pas mon cas.

A-t'on bien $\text{[math]}$ ,et en considérant que ceci est vrai a-t'on une valeur pour U₀ ?

**bbdoll** · 17/02/2006, 21h15

oui, j' ai esayé, j' ai vu que ca marchait au rang 1. Après, j' ai Un+1=racine(n+1+Un).
Je dois montrer que c' est supérieure à (n+1)^2.. . J' ai essayé de partire de Un supérieure ou égale à n. Mais bon franchement, je reste bloqué. J' arrive vraiment pas à établir une inégalité.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**bbdoll** · 17/02/2006, 21h18

Envoyé par matthias

a-t'on une valeur pour U₀ ?

Excusez moi j' ai oublié de préciser: Uo supérieure ou égale à 0.

**bbdoll** · 17/02/2006, 22h05

Non, je me trompe en fait je voulais montrer Un+1 supérieure ou égale à (n+1). Mais ça change rien au problème. Je n' y arrive pas.

**GuYem** · 18/02/2006, 09h57

Envoyé par matthias

C'est peut-être sûr quand on a compris la définitiion de la suite, ce qui n'est pas mon cas.

A-t'on bien $\text{[math]}$ ,et en considérant que ceci est vrai a-t'on une valeur pour U₀ ?

Tu as bien raison, je me suis emballé ! C'est pas clair qu'elle est croissante.

Par contre il me semble qu'une récurrence montrerait l'inégalité attendue.

**bbdoll** · 18/02/2006, 10h53

je vous assure que j' ai essayé, j' ai essayé la récurrence mais je tourne en rond, j' y arrive pas

invite2f4d9e53 · 18/02/2006, 11h24

j'ai l'impression que l'énoncé est faux :
si tu prends par exemple u₀=1, on a alors :
- u₁=racine(2) >= 1 OK
- par contre u₂ = racine(2+racine(2)) < 2 alors que ca devrait être supérieur ou égal à 2

**nissart7831** · 18/02/2006, 11h33

Envoyé par GuYem

Par contre il me semble qu'une récurrence montrerait l'inégalité attendue.

Ca ne m'a pas l'air si évident que ça.

En effet, si on prend $\text{[math]}$ , comme nous a dit bbdoll, on en déduit :
$\text{[math]}$ (là OK)
mais
$\text{[math]}$ Et là, problème, ce n'est pas supérieur à 2.

Donc, déjà on a un problème avec $\text{[math]}$ . D'ailleurs, si on prend $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , ça déraille aussi à partir de $\text{[math]}$ .

Maintenant supposons que l'on ait vraiment $\text{[math]}$ (1). Alors essayons d'en déduire $\text{[math]}$ .
De (1), on déduit :
$\text{[math]}$ soit
$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$ uniquement pour n=0.

Donc une démonstration par récurrence n'est pas si immédiate que ça.
Il y a peut être une astuce que que je n'ai pas vue

OU il y a une erreur d'énoncé.

invite636fa06b · 18/02/2006, 14h03

Bonjour,
Il ne fait pas de doute que l'énoncé est faux, la suite se rapproche par valeur supérieures de racine(n) + 0,5 quelle que soit la valeur du premier terme (supérieur à -1, bien sûr).
Je pense qu'il fallait montrer que tous les termes sont supérieurs à la racine de n et non à n. C'est trivial par récurrence.

**bbdoll** · 18/02/2006, 14h03

Envoyé par nissart7831

il y a une erreur d'énoncé.

On définie une suite (Un) n appartenant à N, par:
Uo supérieur ou égale à 0, et pour tout n supérieure ou égale à 1, Un=racine de (n+U(n-1))
-Montrer que pour tout entier n: Un supérieure ou égal à n.

**nissart7831** · 18/02/2006, 14h55

Envoyé par bbdoll

On définie une suite (Un) n appartenant à N, par:
Uo supérieur ou égale à 0, et pour tout n supérieure ou égale à 1, Un=racine de (n+U(n-1))
-Montrer que pour tout entier n: Un supérieure ou égal à n.

Je ne comprends pas pourquoi tu dis ça. C'est bien ce qu'on avait compris.
Tu as lu mon post? Et les remarques des autres?

**bbdoll** · 18/02/2006, 18h17

Oui je les ai lu mes vous didiez que c' était une erreur d' énoncé alors j' ai retransmis mots pour mot l' énoncé, comme ça je suis sure de pas faire d' erreur

**bbdoll** · 18/02/2006, 19h28

Donc vous êtes sur qu 'il y a une erreur dans l' énoncé?? D' un côté ça me rassure parce que j' ai vraiment tourné en rond; d' un autre côté c' est un devoir que jesuis censée rendre donc si c' est faux je risque de rendre la moitié du DM

invite636fa06b · 18/02/2006, 21h27

Oui, ton énoncé est faux (il s'agit sans doute d'une simple erreur de frappe).
Tu peux t'en convaincre en faisant "tourner" la suite. Par exemple fixe le 10 ième terme à une valeur quelconque largement supérieure à 10. Calcule les terme suivants. Tu les verras décroitre rapidement jusqu'à un peu plus que la racine de n. Ensuite ils augmenteront lentement avec n
Cela ne t'empêche pas de faire le DM, il te suffit de corriger l'énoncé, de démontrer que tous les termes sont supérieurs à racine( n) et de faire les autres questions qui, avec un peu de chance, seront cohérentes avec ton énoncé rectifié...

**bbdoll** · 19/02/2006, 14h12

Merci beaucoup.

**bbdoll** · 19/02/2006, 16h18

Excusez moi je suis encore bloquée. On nous demande de montrer que racine de x est inférieur ou égale à (1+x)/2. Ce que j' ai fais mais ensuite on me demande d' en déduire que Un est inférieure ou égale à n+Uo/(2^n); J' arrive pas à faire le rapprochement entre les 2 égalités.

**nissart7831** · 19/02/2006, 16h52

Il faut que tu montres par récurrence.
En supposant la propriété vraie au rang n, quand tu essayeras de démontrer pour U_n+1, c'est là que tu utiliseras la 1ère inégalité que tu as montrée. Ainsi tu pourras majorer U_n+1 et montrer que la propriété est vraie au rang n+1.

**bbdoll** · 19/02/2006, 16h54

ok MERCI, j' avais pas vu ça

**bbdoll** · 19/02/2006, 18h37

Rebonsoir, dernière fois que je vous embête promis.
J' ai admis que Un est supérieure ou égal à n, j' ai montrer que Un est inférieur ou égale à n+Uo/(2^n); On me demande ensuite de prouver que Un/n converge vers 0. Pour cela je pensait pouvoir utilisé un encadrement puis le théorème des gendarmes. Seulement comme encadrement j' ai 1<Un/n<1+Uo/(n2^n), pour moi ca converge vers 1 et non vers o. Je sais pas si ce que j' ai démontrer précédemment peu servir, à savoir U(n-1)/(n^2) tend vers 0{ la jai utilisé un encadrement: (n-1)/n^2<U(n-1)/(n^2)<(n-1+Uo/2^(n-1))/n^2.}. J' espère que mes parenthèse ne vous déranges pas trop.

invitebb921944 · 19/02/2006, 19h54

Salut.
Bah j'ai lu vaguement les posts précédent et tu n'as pas tenu compte des mises en garde qui te disaient que ton énoncé est faux.
Si un > racine(n), on a :

1/racine(n) < un/n < 1/racine(n)+u0/(n*2^n)

Ce qui tend manifestement vers 0.

**bbdoll** · 19/02/2006, 20h09

Si j' ai vu que c' était faux. Mais je trouve trop audacieux de dire Un est donc supérieure ou égale a racine de n. Alors j' ai poursuivis comme tel. Merci quand même.

invitebb921944 · 19/02/2006, 20h29

Il ne faut pas dire, il faut supposer comme ça le professeur n'est pas touché dans son orgueil

.
En concours, si on pense que l'énoncé est faux, on doit écrire la raison qui nous fait penser cela et ensuite continuer avec notre résultat !

**bbdoll** · 23/02/2006, 19h48

Envoyé par Ganash

Salut.
Bah j'ai lu vaguement les posts précédent et tu n'as pas tenu compte des mises en garde qui te disaient que ton énoncé est faux.
Si un > racine(n), on a :
1/racine(n) < un/n < 1/racine(n)+u0/(n*2^n)
Ce qui tend manifestement vers 0.

Bonsoir
A propos de votre message j' ai réussis (je crois) à calculer la limite sans passé par la propriété à démontrer. (Un/racine de n)=racine de ((n+U(n-1))/n^2)=racine de ((1/n)+U(n-1)/n^2), or 1/n->0 et U(n-1)/n^2->0, d' où Un/n^2->0. Qu' en pensez vous?

Sinon mon prof a finalement changé l' énoncé.

**nissart7831** · 23/02/2006, 22h33

Envoyé par bbdoll

Bonsoir
A propos de votre message j' ai réussis (je crois) à calculer la limite sans passé par la propriété à démontrer. (Un/racine de n)=racine de ((n+U(n-1))/n^2)=racine de ((1/n)+U(n-1)/n^2), or 1/n->0 et U(n-1)/n^2->0, d' où Un/n^2->0. Qu' en pensez vous?

Sinon mon prof a finalement changé l' énoncé.

Désolé, mais non.
Tu ne peux pas dire que U_n-1/n² tend vers 0 quand $\text{[math]}$ .
1/n² tend vers 0, mais tu ne sais pas vers quoi tend U_n-1 quand n tend vers l'infini. Si par exemple, ça tend vers l'infini, tu tombes pour la limite de U_n-1/n² sur une forme indéterminée de la forme $\text{[math]}$ . Tu ne peux donc pas conclure.
Il faut que tu passes donc par la démonstration de la propriété.

Sinon, comment est l'énoncé maintenant qu'il a été corrigé ?

**bbdoll** · 25/02/2006, 10h06

Envoyé par nissart7831

Désolé, mais non.
Tu ne peux pas dire que U_n-1/n² tend vers 0 quand $\text{[math]}$ .
1/n² tend vers 0, mais tu ne sais pas vers quoi tend U_n-1 quand n tend vers l'infini. Si par exemple, ça tend vers l'infini, tu tombes pour la limite de U_n-1/n² sur une forme indéterminée de la forme $\text{[math]}$ . Tu ne peux donc pas conclure.
Il faut que tu passes donc par la démonstration de la propriété.

Sinon, comment est l'énoncé maintenant qu'il a été corrigé ?

Oui en fait à l question précédente on m' a demandé de prouver que U(n-1)/n^2->0. Je suis partie de la propriété fausse pour encadrer U(n-1) et d' une inégalité démontrer à une autre question. n<U(n-1)<(n-1)+Uo/(2^(n-1)).On obtenais en divisant par n^2: 1/n<U(n-1)/n^2<1/n-1/n^2+Uo/(n^2*2^n). les membres de l' égalité à droite et à gauche de U(n-1)/n^2 tendent vers 0, donc d' après le théorème des gendarmes U(n-1)/n^2->0. C' est bon??

**bbdoll** · 25/02/2006, 10h59

sinon l' énoncé est montrer que Un>racine de n; comme vous l' aviez dit. Et en reprenant la vraie propriété l' encadrement marchait aussi.

**nissart7831** · 25/02/2006, 12h54

Envoyé par bbdoll

Oui en fait à l question précédente on m' a demandé de prouver que U(n-1)/n^2->0. Je suis partie de la propriété fausse pour encadrer U(n-1) et d' une inégalité démontrer à une autre question. n<U(n-1)<(n-1)+Uo/(2^(n-1)).On obtenais en divisant par n^2: 1/n<U(n-1)/n^2<1/n-1/n^2+Uo/(n^2*2^n). les membres de l' égalité à droite et à gauche de U(n-1)/n^2 tendent vers 0, donc d' après le théorème des gendarmes U(n-1)/n^2->0. C' est bon??

Ok, comme tu as montré cela (U_n-1/n² tend vers 0 -ce qu'on ne savait pas-), ton idée pour montrer que U_n/n tend vers 0 est bonne.

Mais, dans ce que tu as écrit précédemment pour cette démonstration, il y a des erreurs d'écriture. De plus, utilise maintenant le fait qu'en fait U_n > $\text{[math]}$ .

Alors, rédige cela proprement et on te dira si c'est correct.

**bbdoll** · 25/02/2006, 15h08

Pour un>racine de (n):
racine de (n-1)<U(n-1)<(n-1)+Uo/(2^(n-1));on divise tout par n^2, on a:
racine de (n-1)/n^2<U(n-1)/n^2<(n-1)/n^2+Uo/(n^2*2^(n-1)).
Les termes à gauche et à droite de U(n-1)/n^2 tendent vers 0 et donc en appliquant le théorème des gendarmes, on a: U(n-1)/n^2->0

Envoyé par nissart7831

Mais, dans ce que tu as écrit précédemment pour cette démonstration, il y a des erreurs d'écriture. De plus, utilise maintenant le fait qu'en fait U_n > $\text{[math]}$ .
Alors, rédige cela proprement et on te dira si c'est correct.

désolé je peux pas faire mieux je sait pas comment vous faites pour faire apparaître les symbôles comme racine de....

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