Entier de gauss, d'eisenstein etc

[daviddit]

Bonjour,

Savez-vous s'il y a un critère général pour savoir si un nombre entier premier p
est décomposable en nombre de gauss généralisés (c'est à dire des nombres
a + k.b, avec k une racine n-ième de l'unité, avec n premier).
Pour la décomposition en nombre d'eisenstein, il faut et il suffit que p = 1 [3], par exemple.
Qu'en est-il du cas général ?

Merci d'avance

David
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[0577]

Bonjour,

oui, la décomposition des nombres premiers dans les extensions cyclotomiques est connue.

Si on considère l'anneau engendré sur les entiers par une racine primitive n-ième de l'unité, alors dans cet anneau un nombre premier p

1) se ramifie si et seulement si p divise n

2)si p ne divise pas n, p se décompose en premiers où est la fonction d'Euler
(l'ordre du groupe ) et où f est l'ordre de p dans le groupe .
En particulier, p est complètement décomposé si et seulement si p est congru à 1 modulo n.


(En termes peut-être un peu pédants dans ce contexte, on peut dire que l'application d'Artin, qui à un premier p non-ramifié associe son élément de Frobenius dans le groupe de Galois, réalise un isomorphisme entre et le groupe de Galois de l'extension cyclotomique)

[daviddit]

Merci beaucoup !
Effectivement l'application d'Artin ça ne me parle beaucoup, mais j'ai ma réponse.

Bien cordialement,

David