Unicité de l'application linéaire associée à une matrice

[Antoine1992]

Bonjour

Voilà ma question:

je sais qu'à une application linéaire donnée on peut associer plusieurs matrices (en prenant des bases différentes)

peut-on dire par contre qu'à une matrice donnée n'est associée qu'une seule application linéaire ?
j'aurais envie de répondre "oui" car on sait que deux matrices semblables représentent une même application linéaire, alors en considérant qu'une matrice est semblable à elle-même elle ne peut représenter qu'une seule application linéaire.

ET POURTANT, prenons une application linéaire f définie par exemple par
f(e1)=2*e1
f(e2)=3*e1+2*e2+3*e3
f(e3)=e2+2*e3

où (ei) est la base canonique de R^3

posons une nouvelle base B, par exemple B=((1,1,1),(0,1,0),(0,0,1))
alors la matrice associée à f dans la base B est, après calcul, M=[(5,3,0),(-2,-1,1),(0,0,2)]

mais à partir de cette matrice M je peux aussi définir une application canoniquement associée g :
g(e1)=5*e1-2*e2
g(e2)=3*e1-e2
g(e3)=e2+2*e3

on a clairement g différente de f, et alors M est associée à deux applications linéaires différentes......


Voilà voilà, où est la vérité ???


Merci beaucoup pour votre aide
-----

[minushabens]

Si les bases sont fixées, il y a bijection entre matrices et applications linéaires. Mais si tu changes de bases tout en gardant la même matrice, l'application linéaire change en général.

[Antoine1992]

ok, merci pour cette réponse


mais dans ce cas où est l'erreur dans le premier raisonnement que j'ai fait qui me semblait "prouver" l'unicité de l'application linéaire associée à une matrice ?
je disais qu'en supposant qu'une même matrice est associée à 2 applications linéaires f et g (dans des bases différentes)
notons M la matrice associée à f et M' la matrice associée à g, avec donc M=M'
comme une matrice est semblable à elle-même, M et M' sont semblables

or d'après mon cours, deux matrices semblables représentent la même application linéaire,
donc M et M' représentent la même application linéaire, donc f=g

où est l'erreur dans ce raisonnement ? (désolé si il est assez tiré par les cheveux ^^)


Merci d'avance

[Antoine1992]

une petite réponse svp ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Suite2]

Les matrices M et M' sont bien semblables, mais tu définies mal g... En effet, M est la matrice de f dans la base (e1, e2, e3). De même M' est la matrice de f dans la base B=(b1, b2, b3) cette fois-ci. Autrement dit l'application canoniquement associée à M' est l'application g définie par
g(b1) = ...
g(b2) = ...
g(b3) = ...

Ainsi, tu as clairement f=g. Il faut souvent faire attention à ce mot canonique! C'est à mon avis là la source de ton erreur.

Ne pas confondre représentation canonique (à une base FIXE on fait correspondre matrice et application linéaire) base canonique (base de R^n "formée par le déplacement de 1 dans les coordonnées").

[Antoine1992]

Merci beaucoup pour cette réponse,

seulement j'ai peut-être mal expliqué mon raisonnement dans mon deuxième message, je voulais bien dire que si une matrice M représente deux applications linéaires f et g (dans des bases différentes), d'après les arguments suivants :

1) deux matrices semblables représentent la même application linéaire
2) M est semblables à elle-même

on a f = g


ce qui "prouve" qu'à une matrice donnée ne peut correspondre qu'une seule application linéaire (même en faisant varier les bases)



or je vois bien que ce résultat est faux et donc qu'il y a une erreur dans ma "démonstration", mais je ne vois pas où :'-(


Encore merci pour votre aide

[Antoine1992]

j'ai peut-être trouvé moi-même un début de réponse à mon propre problème...

j'utilise le théorème qui dit que "deux matrices semblables représentent la même application linéaire"

sauf que je l'utilise en disant qu'alors si deux matrices sont semblables, toutes les applications linéaires qu'elles sont susceptibles de représenter sont égales

alors qu'en fait le théorème dit que si deux matrices M et M' sont semblables, il existe une application linéaire "commune" entre les deux, mais pas forcément que pour toute application f représentée par M et g représentée par M', on a f=g


c'est bien ça l'idée ?

[Suite2]

Ce type de questionnement est très bien ! Il prouve que vous réfléchissez sur les théorèmes présentés en cours. Vous n'êtes pas loin de tout comprendre.

-> Quel est ce théorème "deux matrices semblables représentent une même application linéaire" ? Il dit dans un premier temps qu'on FIXE une base B. Ensuite lorsqu'on écrit PM' = MP, avec P une matrice inversible, on dit que M et M' sont semblables. Cette écriture n'est autre que la représentation d'une application linéaire en changeant la base B en la base "P(B)". La base B étant fixée, M représente une unique application f dans la base B. Au vu de l'écriture PM'= MP, M' représente aussi une application g dans la base P(B). Cette application g est alors égale à f. Voilà en quoi deux matrices semblables représentent une même application linéaire.

-> Pour votre seconde remarque. Lorsque M et M' sont semblables, quelque l'application f représentée par M, il existe une base B' de sorte que
si (M' est la représentation de g dans la base B') alors (f = g).

Je ne vois pas quoi dire de plus. Ai-je donné assez de détails ?

[Antoine1992]

oui je pense que cette fois j'ai complètement compris la question


Merci beaucoup pour votre aide !