Continuité uniforme

invite0ad54afb · 02/10/2014, 22h58

soit f fonction continue de IR vers IR on suppose que la limte en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ existemontrer que f est uniformement continue sur IR
voila comment j'ai pu raisonner
grace a la definition de la limite existante en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ j'ai pu régler le cas où x est superieur a un certain $\text{[math]}$ et inferieur a un certain $\text{[math]}$ maintenant le cas ou $\text{[math]}$
je me suis dit que puisque f est continue alors quelque soit a de $\text{[math]}$ on a l'existance d'un $\text{[math]}$ qui définit le voisinage de a sur lequel $\text{[math]}$ on prends l'inf des alpha sur le segment $\text{[math]}$ cequi verifiera la continuité unforme pour tout y se trouvant au voisinage de x telque $\text{[math]}$ ce qui donne la continuité uniforme de f ?

invite8ab5fa54 · 02/10/2014, 23h36

soit f fonction continue de IR vers IR on suppose que la limte en et existemontrer que f est uniformement continue sur IR

Les limites en l'infini doivent être de plus des limites finies je suppose, sinon l'exercice n'est pas faisable.
L'idée est bonne mais ta rédaction est bancale , et attention , n'introduis pas des grandeurs sans les avoir quantifiés.
Exemple de début de rédaction :
$\text{[math]}$ il existe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , par continuité de f sur le segment $\text{[math]}$ .

Ensuite , l'ensemble des "alpha" ici décrit est infini . Rien ne garantit a priori que la borne inférieure de cet ensemble ne soit pas 0. Il faut éclaircir ce point.

invite0ad54afb · 03/10/2014, 00h27

ok donc le truc des alpha ne marche pas
et si par exemple je prends la définition de la continuité soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
d'ou $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$
d'ou la continuité uniforme ???

**gg0** · 03/10/2014, 10h06

Heu ... c'est la continuité, pas la continuité uniforme. Tu as simplement remplacé une condition par une condition équivalente.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0ad54afb · 03/10/2014, 19h10

j ai mal écris mais ca ne nous donne-t-il pas $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ de IR |x-y|<\epsilon implique $\text{[math]}$
qui est la définition de la continuité uniforme

**gg0** · 03/10/2014, 19h54

Non,

ce n'est toujours pas la définition de la continuité uniforme. Il va te falloir aller vraiment la lire ...

invite0ad54afb · 03/10/2014, 21h12

la continuité uniforme de f sur IR
$\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ de IR $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
je la retiens parcoeur c'est pas si difficile a apprendre

**gg0** · 03/10/2014, 23h29

Effectivement,

il s'agit bien d'une définition de la continuité uniforme (*), mais pas d'une conséquence de la propriété de continuité que tu citais :
soit $y \in ]x_1,x_0[$
$(\forall \epsilon > 0) ( \exists \alpha >0) tel que \forall x \in ]y-\alpha,y+\alpha[ |f(x)-f(y)|< \epsilon$
Le y quelconque est donné avant, donc le $\text{[math]}$ en dépend.
D'ailleurs en prenant $\text{[math]}$ , on va avoir des ennuis. Par contre avec $\text{[math]}$ on peut y arriver. Vois le théorème qui dit que toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue. Et sa démonstration.

Soit tu peux utiliser ce théorème, et ton exercice est plus simple (mais il y a une rédaction à faire qui tient compte de ce qui se passe aussi avant x₁ et après x₀), soit il te faut en reprendre une preuve en la liant à ce qui se passe avant x₁ et après x₀.

Cordialement.

(*) j'ai lu un peu vite.

invite0ad54afb · 04/10/2014, 15h08

c'est le théoreme de Heine si je ne me trempe pas

invite0ad54afb · 04/10/2014, 15h33

et si j'essaye de le résoudre de cette manière soit $\text{[math]}$
on a f continue sur $\text{[math]}$ donc soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
la somme permettera de conclure que pour un a quelconque de $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
(on prends le min des alpha pour alpha2)
donc finalement
$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
mais puisque le a qu'on a choisis est quelconque comment peut-on utiliser cela pour passer de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$

invite0ad54afb · 04/10/2014, 15h59

peut-on continuer en supposant par absurde l'existance d'un couple x,y tel que
$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
on f continue sur $\text{[math]}$ donc et $\text{[math]}$ donc on trouve que
$\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$
d'ou la contradiction avec la continuité de f ?

**gg0** · 04/10/2014, 16h55

Comme nulle part tu n'emploies le fait qu'on est sur un intervalle fermé borné, ta preuve ne peut aboutir.

Je n'ai pas regardé en détail (peu de temps), mais tu es en train d'essayer de prouver que continue implique uniformément continue. Pas possible !

Cordialement.

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