Convergence \int 1/(e^x - 1) sur [1,+\inf[

[davidk_112]

Bonjour,
je cherche à démontrer la convergence de l'intégrale suivante.

A priori, aucune difficulté là dedans, mais j'ai des difficultés techniques davantage que de compréhension.
Posons

Premièrement sur , on est d'accord que f(x) est localement intégrable puisqu'elle est majorée par f(1) (fonction monotone décroissante sur . Le problème de la convergence se pose alors pour la borne supérieure. Dans ce dernier cas, je remarque que asymptotiquement, f(x)~e^{-x}, et de mon point de vue, cela suffit à démontrer que l'intégrale est convergente puisque l'intégrale :

existe et est bien définie.

Pensez vous que ces arguments suffisent, ou faut-il introduire d'autres arguments ? J'ai vu une méthode qui serait d'écrire :


Est-ce que c'est nécessaire d'en passer par là ? Quels théorèmes et notions faut il faire intervenir pour avoir une démonstration rigoureuse de la convergence ?
Merci beaucoup.
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[gg0]

Bonjour.

Cela me semble nettement suffisant. Pour ma part, je me serais contenté de "continue" pour prouver qu'elle est localement intégrable.

Cordialement.

[invited9b9018b]

Bonsoir,

Pour exploiter l'équivalence entre deux fonctions f et g, il me semble qu'il faut qu'elles soient de signe constant au voisinage de la borne pertinente.
Ce qui est bien le cas dans votre exemple.

A+