Bonjour,
J'ai une question sur le cardinal dele groupe des inversibles de l'ensemble des
dans le cas où
est un carré modulo
.
- Soit
un nombre premier tel que
n'est pas un carré modulo
(c'est d'ailleurs le cas si p est un nombre premier de Mersenne)
- Soit
où
- On définit logiquement la multiplication comme
- soit
le groupe des élément de
qui sont inversibles
- clairement
est un sous-groupe de
donc
divise
- ensuite,
, et comme
n'est pas inversible,
et donc
- soit
, on veut montrer qu'il existe
tel que
donc
- si
alors
est inversible puisque
- si
alors
puisqu'à gauche c'est un carré, alors qu'à droite non, donc
et
on en déduitet finalement
ce qui prouve que
est bien inversible.
- Tous les éléments de
sont donc inversibles sauf
, et donc
Par contre siest un carré modulo
, alors je ne sais pas comment conclure !
Merci de votre aide !
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