Le groupe X : {a = b \sqrt{3} mod p} et son cardinal |X*|

[acx01b]

Bonjour,

J'ai une question sur le cardinal de le groupe des inversibles de l'ensemble des dans le cas où est un carré modulo .

• Soit un nombre premier tel que n'est pas un carré modulo (c'est d'ailleurs le cas si p est un nombre premier de Mersenne)
  
• Soit où
  
• On définit logiquement la multiplication comme
  
• soit le groupe des élément de qui sont inversibles
  
• clairement est un sous-groupe de donc divise
  
  
• ensuite, , et comme n'est pas inversible, et donc
  
  
• soit , on veut montrer qu'il existe tel que
  
  
  
  donc
  
  1. si alors est inversible puisque
     
     
  2. si alors
     
     
     
     
     puisqu'à gauche c'est un carré, alors qu'à droite non, donc et
     on en déduit et finalement ce qui prouve que est bien inversible.
• Tous les éléments de sont donc inversibles sauf , et donc

Par contre si est un carré modulo , alors je ne sais pas comment conclure !

Merci de votre aide !
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[Médiat]

Bonjour,

Avez-vous exploité le fait que la norme naturelle est multiplicative ?

[acx01b]

ça veut dire quoi ? merci

[Médiat]

Norme (ou pseudo norme) multiplicative :

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

ok merci ! vous le sortez d'où au fait cette histoire de norme sur ce groupe ? c'est traditionnellement utilisé dans les démos ?

et plutôt (la valeur absolue) ?
sinon oui c'est une pseudo-norme, ou simplement une fonction qui préserve la structure de la multiplication.

et donc si est un carré modulo , alors il y a des avex .
et si alors donc implique non inversible.

C'est élégant.

Par contre la réciproque, implique inversible, je bloque un peu, ça sera sans doute beaucoup moins élégant ?

Et si ça vous intéresse, il y a d'autres "exos" sur ce groupe (et donc sur les nombres de Mersenne..). je n'arrive pas à bien voir le groupe quotient X* / Fp, de cardinal p+1 si 3 n'est pas un carré modulo p. Ce groupe est-il cyclique par exemple ?

[Médiat]

vous le sortez d'où au fait cette histoire de norme sur ce groupe ? c'est traditionnellement utilisé dans les démos ?

Oui, c'est très classique pour les algèbres en particulier de dimension 2 (on peut définir un conjugué et une pseudo-norme, qui correspondent à ce que l'on peut en attendre sur les complexes par exemple).

[acx01b]

et donc, pour la réciproque, une idée ? il faut forcément développer comme je l'ai fait au premier message ?

[Médiat]

et donc, pour la réciproque, une idée ?

En posant , on obtient rapidement que

Et la division par |x| (différent de 0) est possible puisque p est premier !

[acx01b]

ha ben oui, je suis à l'ouest, élégant également. beaucoup plus que mon analyse en détail de la multiplication dans mon premier post.

d'autant plus que ça répond également au cas où 3 est un carré modulo p (et où potentiellement |x| = 0).

toujours dans ce cas, il ne reste plus qu'à dénombrer ce nombre d'éléments tels que |x| = 0 (qui ne sont donc pas inversibles) pour avoir le cardinal de X*.

on peut donc passer à la question suivante.

par exemple la nature de X*, est-ce le produit direct de deux groupes cycliques ? si non, il se décompose en combien de groupes cycliques ??