Bonjour!
Soit E un espace vectoriel normé et a ∈ E.
Il est facile de montrer que B(a,r) ⊆ B°[a,r].
Mais comment démontrer que B°[a,r] ⊆ B(a,r) ?
avec:
B(a,r) la boule ouverte de centre a de rayon r
B[a,r] la boule fermée de centre a de rayon r
B°[a,r] l’intérieur de B[a,r]
Merci pour toute aide!
Il me semble qu'il faut montrer (par l'absurde) que si x est un point de B°[a,r], alors ||x-a|| < r.
Indice supplémentaire au cas ou ça ne suffise pas :
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Ahhh d'accord, je vais donc tenter de faire la démo:
Si x est un point de B°[a,r]
Alors x est un point de B[a,r] car B°[a,r] ⊆ B[a,r]
x ∈ B°[a,r]
⇒ x ∈ B[a,r]
⇒ ||x - a|| ≤ r
Donc supposons par l'absurde que ||x - a|| = r
Si l'on démontre qu'il existe un ε > 0, tel que la boule B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r] c'est gagné, car l’hypothèse de départ est x ∈ B°[a,r].
Posons y = x + ε/2 [(x-a) / ||x - a||] ..... je dirais ε/2 au lieu de ε pour que y ∈ B(x,ε)
On a ||y - x|| = ε/2 < ε donc y ∈ B(x,ε)
Alors que ||y - a|| = ||x + ε(x-a)/2r - a||
||y - a|| = ||(x-a) + ε(x-a)/2r ||
||y - a|| = ||(x-a) (1+ε/2r) ||
||y - a|| = (1+ε/2r) ||x-a||
||y - a|| = (1+ε/2r) r
||y - a|| = r + ε/2 > r
Donc y ∉ B(a,r)
Alors B(x,ε) n'est pas incluse dans B(a,r), ce qui est absurde!
Donc il est impossible que ||x-a|| = r !
C'est correct ?
Je dirais plutôt y ∉ B[a,r]
Alors B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r]
Attention, il y a une grosse erreur de raisonnement (mais les calculs sont justes).
Ça n'est pas "Si l'on démontre qu'il existe un ε > 0, tel que la boule B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r] c'est gagné" mais "Si l'on démontre que quelque soit ε > 0, la boule B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r] c'est gagné"
Donc il faudrait commencer ta démonstration par "soit ε > 0" et remanier un peu la conclusion
Ahh en effet je commence ma démo par "soit ε > 0" et j'aboutis au final que pour tout ε > 0, B(x,ε) n'est pas inclus dans B[a,r], et ceci veut dire que x ∉ B°[a,r] !
Merci beaucoup pour votre aide
