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L'interieur d'une boule fermée est une boule ouverte




  1. #1
    jojoxxp4

    L'interieur d'une boule fermée est une boule ouverte

    Bonjour!

    Soit E un espace vectoriel normé et a ∈ E.

    Il est facile de montrer que B(a,r) ⊆ B°[a,r].
    Mais comment démontrer que B°[a,r] ⊆ B(a,r) ?


    avec:
    B(a,r) la boule ouverte de centre a de rayon r
    B[a,r] la boule fermée de centre a de rayon r
    B°[a,r] l’intérieur de B[a,r]


    Merci pour toute aide!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Tryss

    Re : L'interieur d'une boule fermée est une boule ouverte

    Il me semble qu'il faut montrer (par l'absurde) que si x est un point de B°[a,r], alors ||x-a|| < r.

    Indice supplémentaire au cas ou ça ne suffise pas :
     Cliquez pour afficher

  4. #3
    jojoxxp4

    Re : L'interieur d'une boule fermée est une boule ouverte

    Ahhh d'accord, je vais donc tenter de faire la démo:

    Si x est un point de B°[a,r]
    Alors x est un point de B[a,r] car B°[a,r] ⊆ B[a,r]

    x ∈ B°[a,r]
    ⇒ x ∈ B[a,r]
    ⇒ ||x - a|| ≤ r

    Donc supposons par l'absurde que ||x - a|| = r

    Si l'on démontre qu'il existe un ε > 0, tel que la boule B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r] c'est gagné, car l’hypothèse de départ est x ∈ B°[a,r].

    Posons y = x + ε/2 [(x-a) / ||x - a||] ..... je dirais ε/2 au lieu de ε pour que y ∈ B(x,ε)

    On a ||y - x|| = ε/2 < ε donc y ∈ B(x,ε)

    Alors que ||y - a|| = ||x + ε(x-a)/2r - a||
    ||y - a|| = ||(x-a) + ε(x-a)/2r ||
    ||y - a|| = ||(x-a) (1+ε/2r) ||
    ||y - a|| = (1+ε/2r) ||x-a||
    ||y - a|| = (1+ε/2r) r
    ||y - a|| = r + ε/2 > r

    Donc y ∉ B(a,r)

    Alors B(x,ε) n'est pas incluse dans B(a,r), ce qui est absurde!
    Donc il est impossible que ||x-a|| = r !


    C'est correct ?
    Dernière modification par jojoxxp4 ; 14/10/2014 à 01h57.


  5. #4
    jojoxxp4

    Re : L'interieur d'une boule fermée est une boule ouverte

    Je dirais plutôt y ∉ B[a,r]

    Alors B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r]

  6. #5
    Tryss

    Re : L'interieur d'une boule fermée est une boule ouverte

    Attention, il y a une grosse erreur de raisonnement (mais les calculs sont justes).
    Ça n'est pas "Si l'on démontre qu'il existe un ε > 0, tel que la boule B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r] c'est gagné" mais "Si l'on démontre que quelque soit ε > 0, la boule B(x,ε) n'est pas incluse dans B[a,r] c'est gagné"

    Donc il faudrait commencer ta démonstration par "soit ε > 0" et remanier un peu la conclusion

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jojoxxp4

    Re : L'interieur d'une boule fermée est une boule ouverte

    Ahh en effet je commence ma démo par "soit ε > 0" et j'aboutis au final que pour tout ε > 0, B(x,ε) n'est pas inclus dans B[a,r], et ceci veut dire que x ∉ B°[a,r] !


    Merci beaucoup pour votre aide

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