Bonjour,
Dans mon cours on effectue la démonstration du théorème des résidus en utilisant :
1) Le thm de déformation des contours.
2) Les formules de développement en séries de Laurent (en utilisant la valeur du a-1).
En soit je ne comprends pas pourquoi les points doivent être isolés, les formules du développement en série de Laurent sont valables pour des singularités non isolé ainsi que le théorème de déformation des contours.
Merci.
Justement non ! Il me semble qu'il va être très difficile de développer en série de Laurent une appliation holomorphe autour d'une singularité non isolée ! En revanche si tu peux m'énoncer clairement ton théorème (avec les hypothèses et toutes les conclusions) de développement en série de Laurent, je trouverai peut-être les hicsIl me semble qu'en général on parle de développement en série de Laurent pour des fonctions holomorphes sur une couronne ou quelquechose comme cela.
Bonjour à tous :
Je m'aligne à la proposition de Suite2 que je le salut en passant , pourriez vous nous cité ici si possible c'est deux théorèmes merci ?
Cordialement
Et puis de toute manière le déevloppement en série de Laurent n'a pas de sens pour une singularité non isolée ! En effet...
Prenons une application holomorphe sur un domaine. Supposons que dans ce domaine il existe une boule ouverte de sorte que le complémentaire de dans cetteboule admet un point d'accumulation. Autrement dit l'application holomorphede départ admet une singularité non isolée. Soit $a$ ce point d'accumulation. Si l'on pouvait développer en série de Laurent l'application holomorphe autour de la singularité a (disons dans un petit- très très très petit- disque) alors nécessairement le développement en série de Laurent ferait apparaître au moins un terme de la forme
pour un certain entier n non nul. Ce qui signifie que dans ce tout petit disque l'application holomorphe est bien définie et donc
Par suite l'application holomorphe de départ n'a aucune raison d'être développable en série de Laurent sur un disque (même microscopiquement petit). Sauf si chaune des singularités autour du point a sont des singularités effacable. Mais dans ce cas, on peut considérer que l'application holomoprhe est prolongeable en une autre applcaitionholomorphe où a est une singularité isolée...
Bonjour,
[EDIT] : Merci de plutôt regarder la démo sur wikipedia utilisant la formule de Cauchy, elle est fournie avec un schéma : http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Laurent
http://blogs.epfl.ch/extrema/documen...copi%C3%A9.pdf
A la page 53 figure une démonstration du théorème de Laurent.
En fait je ne vois pas à quel endroit on suppose qu'il existe une singularité isolée.
On suppose juste que f est holomorphe dans une couronne (et donc pas au milieu de celle ci).
Ainsi le trou au milieu de cette couronne peut comporter une singularité isolée ou un ensemble de singularités éventuellement continu non ?
Merci !
En fait j'ai plutôt pris en photo mon cours c'est plus explicite.
Voici la démo :
https://drive.google.com/file/d/0B2l...ew?usp=sharing (énoncé)
https://drive.google.com/file/d/0B2l...ew?usp=sharing (démo page 1)
https://drive.google.com/file/d/0B2l...ew?usp=sharing (démo page 2)
A aucun moment on ne dit qu'il doit y avoir une singularité isolée.
On dit juste que f n'est pas holomorphe au centre dans une boule ouverte, c'est tout !
Merci.
