intégrale généralisées et DL

[invite50ab1a1f]

bonjour
je dois trouver les singulités de l'intégrale entre 0 et 1 de t^(a)ln(t) suivant a qui appartient à R
il faut donc distinguer deux cas : quand a est supérieur à 0 et quand a est inférieur à 0
Pour cela mon prof utilise le théorème de croissance comparé qui dit que limite de ln(x)x^n =0 avec n supérieur à 0 quand x tend vers 0 l'infini. Cette limite est elle calculable avec les développement limités ? et comment à partir de cela peut on savoir que limite de ln(x)/x^n =+ l'infini quand x tend vers 0?
je vous remercie pour votre aide
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[invite5805c432]

non, il n'y a pas de developpement limités autour de 0 de ln(x). d'ailleurs ln(x) n'est pas défini en 0

Ce genre de limite x^a ln(x), quand x-> 0 ou quand x-> infini sont des résultats remarquables qu'il faut connaitre.
pareil pour les x^a exp(x).

une démonstration expéditive, serait d'utiliser une des version généralisée de la règle de l’Hôpital. Soit tu bosse comment est démontré cette seconde généralisation, et tu la reprends dans ce cas particulier. http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8...3.A9ralisation

[invite50ab1a1f]

d'accord je comprend
dc le théorème de comparaison ne contient que des limites remarquables ?
dans mon exercice il est aussi écrit que xlln(x)l^a est toujours borné au voisinage de 0 d'après le théorème de comparaison, je ne comprends pas pourquoi, quand je regarde le théorème de comparaison sur internet je trouve 4 limites remarquable et aucune n'est du même type que celle ci...
merciiii

[invite5805c432]

la question a changé.
si a < 0, |ln(x)| va vers l'infini quand x->0, du coup |ln(x)|^a < 1.
donc 0< x|ln(x)|^a < x
donc converge vers 0 par thm des comparaison.

si a>0
x |ln(x)|^a = [x^{1/a} |ln(x)| ]^{a}
le terme entre crochets est de la forme
t^b ln(t), avec b>0
et ceci est limite remarquable, converge vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50ab1a1f]

merci beaucoup pour ton aide

[invite50ab1a1f]

j'aurai une derniere petite question
et comment peut on dire avec la croissance comparée que ln(t)=O(1/t^1/4) ?
merci