Espaces vectoriels.

[Stellita]

Bonjour,

Je suis en train de réviser les espaces vectoriels. J'ai donc essayer de faire un exercice et je ne comprends pas comment faire la deuxième partie d'un exercice.

Enoncé :

On munit l'ensemble des fonctions E =F(R, R) de sa structure canonique de R-espace vectoriel et on pose F = { f ∈ E; f paire} et G = { f ∈ E; E impaire}
Montrer que E = F⊕G.
Expliciter la projection sur F parallèlement à G.

On montre que F⋂G = {0}

∀x ∈ R, f∈ F⋂G :

f(x)=f(-x) et f(-x)=-f(x)

donc f(x) = 0 donc F⋂G = {0}

On montre que F+G = E

Soit f∈ E, g∈F et h∈G

∀x ∈ R,

f(x) = g(x)+h(x)
f(-x) = g(-x)-h(x)

En sommant on obtient : g(x)= (1/2)*(f(x)+f(-x))
En soustrayant on obtient : h(x) = (1/2)*(f(x)-f(-x))

D'où f(x) = (1/2)*(f(x)+f(-x)) + (1/2)*(f(x)-f(-x))

On a donc montrer que E = F+G

Par contre, la projection, je ne sais pas vraiment comment faire.
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[gg0]

Bonjour.

Tu as déjà tout, puisque le projeté de f, c'est g (revois la définition du projeté).

Cordialement.

[Stellita]

Merci. En fait, j'avais pas compris la définition de la projection.

Du coup, comme F est un sev de E et G un supplémentaire dans E.

∀ f∈ E, ∃(g,h) ∈ FxG tel que f = g+h

g est le projection de F parallèlement à G

Bref c'est répété ce que vous avez dit

[PlaneteF]

Bonsoir,

∀ f∈ E, ∃(g,h) ∈ FxG tel que f = g+h

Il est très important de préciser ici que le couple est unique. Je te laisse le soin de voir pourquoi c'est important.

g est le projection de F parallèlement à G

Bref c'est répété ce que vous avez dit

Ben c'est surtout mal répéter ce qu'a dit gg0, ... parce que ce que tu dis là est faux


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Stellita]

Ah Oui c'est vrai. Merci de m'avoir corrigé.

Et : g est la projection de f parallèlement à G

J'ai dû taper vite je voulais pas mettre un F mais un f

Merci

[PlaneteF]

Et : g est la projection de f parallèlement à G

Non, c'est toujours aussi faux, ... et même ça ne veut rien dire du tout !

Cordialement

[Stellita]

g est le projeté de f parallèlement à G ?

[PlaneteF]

g est le projeté de f parallèlement à G ?

C'est moins pire ... mais c'est pas encore ça !

Cdt

[gg0]

il manque encore "sur F".

Si on n'écrit qu'une partie d'une phrase, ça ne donne pas le même sens.

Et pour expliciter la projection sur F parallèlement à G, il faut encore la définir :
p : f ---> ....
où l'image de f est donnée en fonction de f.

Cordialement.

[Stellita]

On sait que E = F⊕G

∀ f∈ E, ∃!(g,h) ∈ FxG tel que f = g+h

p : E = F⊕G -->E
f = g+h --> g

g est le projeté de f sur F parallèlement à G

[PlaneteF]

On sait que E = F⊕G

∀ f∈ E, ∃!(g,h) ∈ FxG tel que f = g+h

p : E = F⊕G -->E
f = g+h --> g

En écrivant cela tu n'explicites pas en fonction de .

Cdt

[gg0]

Et pourtant tu l'as fait dans la question précédente ...

[Stellita]

∀x ∈ R, ∀ f∈ E,

p : E = F⊕G -->E

f(x) --> (1/2)*(f(x)+f(-x))


g(x) = (1/2)*(f(x)+f(-x)) , g est le projeté de f sur F parallèlement à G

[PlaneteF]

p : E = F⊕G -->E

f(x) --> (1/2)*(f(x)+f(-x))

En toute rigueur non, ...

... car c'est un réel, ce n'est pas une fonction élément de . Idem pour


Cdt

[Stellita]

∀x ∈ R, ∀ f∈ E, E = F(R,R)

p : R --> R

f(x) --> (1/2)*(f(x)+f(-x))


g(x) = (1/2)*(f(x)+f(-x))

g est le projeté de f sur F parallèlement à G

[gg0]

Très exactement, c'est f la fonction à projeter. Et son image est une fonction (donc on peut la noter soit avec la notation des fonctions, soit avec un calcul sur les fonctions)

p : f --> (x -->1/2(f(x)+f(-x)))
(Je n'écris pas le calcul sur les fonctions, qui est un peu délicat à ton niveau, et nécessite de donner un nom à la fonction x-->-x).

Cordialement.

[PlaneteF]

p : R --> R

Non, ... car n'est pas une fonction de vers


Cdt

[Stellita]

D'accord. Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer parce que je suis nulle en maths

p : R --> R c'est faux.

p: E --> E
f --> ( x --> (1/2)*(f(x)+f(-x)) c'est juste ?

[gg0]

Si tu n'es pas capable de décider par toi-même, tu acceptes de rester "nulle en maths". Il n'y a que cette catégorie de "nulle en maths" : Ceux qui laissent aux autres le soin de décider de ce qui est juste ou faux. Donc qui ne font pas de maths.
A toi de repenser tout ça (la signification des notations, les règles utilisées, ...) pour décider.

NB : En conséquence des règle d'écriture des opérations, la parenthèse autour de 1/2 et le * ne sont pas nécessaires (on fait une succession de multiplication/divisions de la gauche vers la droite et l'absence d'un symbole d'opération est interprétée comme une multiplication)

[Stellita]

p : E --> E

E = F(R, R)

On part de f qui appartient à E vers ( x --> 1/2(f(x)+f(-x)) qui appartient aussi à E

Donc on définir l'application comme :

p : E --> E

f --> (x --> 1/2(f(x)+f(-x))

[PlaneteF]

f --> (x --> 1/2(f(x)+f(-x))

Si l'on veut chipoter : Il faut mettre à la place de , préciser l'ensemble de départ et d'arrivée de la fonction , et rajouter une parenthèse fermante manquante.


Pour être plus précis on peut par exemple écrire ceci :






avec






Cdt

[Stellita]

D'accord, merci

[PlaneteF]

A noter qu'ici il s'agit bien de l'écriture , ... à ne surtout pas confondre avec l'écriture qui ici n'aurait aucun sens.

Cdt

[Stellita]

Oui c'est compris. Cette notation, je l'ai déja utilisée pour des fonctions composées.

[gg0]

Justement,

il ne s'agit pas de fonctions composées.

[Stellita]

[p(f)](x) c'est un élément de |R

p(f) c'est un élément de E

[PlaneteF]

[p(f)](x) c'est un élément de |R

p(f) c'est un élément de E

Oui, ... mais ce que je t'ai précisé c'était surtout que ne doit pas être confondu avec , ... précision mal comprise de ta part puisque juste après tu écris ceci :

Oui c'est compris. Cette notation, je l'ai déja utilisée pour des fonctions composées.

... D'où la remarque ensuite de gg0.

Cdt