Sous-espaces vectoriels supplémentaires

[invitea0fdfed9]

Bonjour,

Dans un exercice, j'ai E un sous-espace vectoriel de , où et .

Je dois montrer que et sont supplémentaires. Pour cela, on doit montrer que :
- ce qui est le cas
-

Je me dis donc que cette dernière condition est vérifiée si le vecteur normal au plan vectoriel défini par est orthogonal au vecteur directeur de la droite vectorielle définie par .

Je calcule donc le déterminant de ces trois vecteurs, celui-ci n'est pas nul ...

Je ne comprend pas pourquoi ...
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[gg0]

Il n'est pas nécessaire qu'ils soient orthogonaux.

Sais-tu vraiment ce que tu fais quand tu calcules ce déterminant ? Je n'ai pas l'impression que ça ait rapport avec l'orthogonalité. mais si tu sais ce que veut dire déterminant non nul, tu sais que tu as quasiment fini.

Sinon, il te suffit de prendre une vecteur qui est à la fois dans F1 et dans F2, et de montrer qu'il est nul.

Cordialement.

[invitea0fdfed9]

Cela signifie que la famille des trois vecteurs est une base, et par unicité de la décomposition, j'en déduis que et sont supplémentaires.

J'essayais de voir ça géométriquement mais il ne fallait pas raisonner comme ça apparemment.

Merci !