Inverse d'une fonction continue en un point

[ayswen]

Bonsoir à tous,

Je m'interroge sur un théorème de mon bouquin de maths :

" Soit une fonction définie sur un intervalle de , et un point de . Si , et si est continue en , la fonction est définie sur un intervalle de la forme , et est continue en . "

Intuitivement, j'aurais dit que était elle aussi définie sur tout simplement, et je n'arrive pas à m'expliquer cette intersection bizarre de avec . Plus j'y réfléchis, moins je comprend... Pourquoi centrer le nouvel intervalle sur ? Pourquoi le limiter ? ça n'a aucun sens !

Merci d'avance pour votre aide !
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[ansset]

même si g(a) diff de 0 et g continue en a, rien n'empêche g de s'annuler qcq part sur I. d'ou la restriction à un intervalle inférieur.
Cdt

[ansset]

en complement, le théorème ne peut indiquer si 1/g est défini au delà de I puisque g n'est défini que sur I

[Seirios]

Bonsoir,

Je m'interroge sur un théorème de mon bouquin de maths :

" Soit une fonction définie sur un intervalle de , et un point de . Si , et si est continue en , la fonction est définie sur un intervalle de la forme , et est continue en . "

Intuitivement, j'aurais dit que était elle aussi définie sur tout simplement, et je n'arrive pas à m'expliquer cette intersection bizarre de avec . Plus j'y réfléchis, moins je comprend... Pourquoi centrer le nouvel intervalle sur ? Pourquoi le limiter ? ça n'a aucun sens !

Tu peux regarder ce qui se passe avec pour te faire une idée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[neferet403]

Bonsoir,
je pense que le point clé c'est qu'on ne connait la continuité de la fonction que en a. Elle peut donc faire ce qu'elle veut ailleurs, il n'y a que dans le voisinage de a qu'on sait qu'elle se comporte gentillement. Evidemment il ne faut pas qu'elle s'annule en a, donc on suppose g(a) strictement positif. Maintenant, puisque la fonction est continue en ce point (et en ce point seulement, à ce qu'on en sait) on sait qu'il existe un petit intervalle autour de ce point où la fonction n'est pas nulle : on peut toujours réduire l'intervalle à une taille aussi petite que l'on veut pour rester aussi proche qu'on veut de g(a) qui n'est pas nul. Si g veut s'annuler autour de a, il faudra le faire de façon continue, donc en prenant toutes les valeurs existants entre g(a) et 0, on peut donc trouver un intervalle plus petit où ca ne s'annule pas. Voilà, on sait donc que la fonction ne s'annule pas autour de a, donc on peut l'inverser. Pourquoi l'intersection ? Parce que si on est au bord de l'intervalle I, on risque de dépasser, et arriver en dehors de I où g n'est plus défini. Pour être tranquille on ne garde que ce qui est dans I.

[ayswen]

Merci les amis de m'avoir répondu si vite !

même si g(a) diff de 0 et g continue en a, rien n'empêche g de s'annuler qcq part sur I. d'ou la restriction à un intervalle inférieur.
Cdt

Ok je vois, mais en quoi cette restriction tq empêche , fonction quelconque, de s'annuler sur ?

Tu peux regarder ce qui se passe avec pour te faire une idée.

En regardant le graphe de ta fonction, je constate qu'elle est continue en -1 et 1 alors que son inverse ne l'est pas. Pour moi ça infirme le théorème, mais j'ai pas du piger un truc capital par rapport à cette fameuse restriction...

J'ai l'impression d'être un gros débile qui comprend rien à rien

edit : Après avoir lu ton message neferet403, j'ai l'impression que je comprend un peu mieux, je vais essayer de le relire quelques fois pour voir si j'arrive à comprendre totalement, je vous tiens au courant

[Seirios]

En regardant le graphe de ta fonction, je constate qu'elle est continue en -1 et 1 alors que son inverse ne l'est pas. Pour moi ça infirme le théorème, mais j'ai pas du piger un truc capital par rapport à cette fameuse restriction...

Se demander si l'inverse est continue en +1 ou -1 n'a pas de sens : la fonction n'y est pas définie !

[ayswen]

Se demander si l'inverse est continue en +1 ou -1 n'a pas de sens : la fonction n'y est pas définie !

Oula oui pardon... sur ce coup la j'ai aucune excuse. Mais du coup je suis désolé, je vois toujours pas exactement où tu voulais en venir avec cette fonction

[Seirios]

Je voulais simplement faire remarquer que pour parler de la fonction 1/g, encore faut-il qu'elle soit bien définie.

[ayswen]

J'ai l'impression d'être dans un pays étranger et de ne pas comprendre la langue >. < au pire je l'apprendrai juste par cœur sans chercher à comprendre, c'est comme ça que la plupart des gens font et ça leur réussit pas si mal

[ansset]

Merci les amis de m'avoir répondu si vite !


Ok je vois, mais en quoi cette restriction tq empêche , fonction quelconque, de s'annuler sur ?

elle n'empêche pas justement globalement de s'annuler sur I
mais la continuité en a l'empêche de s'annuler sur un intervalle ( même très petit ) autour de a .
revoir la définition formelle de la continuité en prenant comme epsilon = g(a).

[Tryss]

J'ai l'impression d'être dans un pays étranger et de ne pas comprendre la langue >. < au pire je l'apprendrai juste par cœur sans chercher à comprendre, c'est comme ça que la plupart des gens font et ça leur réussit pas si mal

C'est le meilleur moyen de devenir nul en maths

[gg0]

Bonsoir Ayswen.

Il y a une petite difficulté dans l'énoncé que tu cites : Le arrive un peu comme un cheveu sur la soupe. Au lieu de dire "la fonction 1/g est définie sur ..." qui semble vouloir dire qu'elle n'est pas définie ailleurs (ce n'est pas ce qui est dit), il aurait fallu dire "il existe un nombre tel que g ne s'annule pas sur ; sur cet intervalle 1/g est bien définie, et en a elle est continue".

Autre chose : La condition est absurde ! Que fait-on si a<0. par contre, la condition permet d'avoir un "vrai intervalle", pas réduit au point a.

Cordialement.

NB : Rien de très mystérieux dans tout ça : On assure l'existence de 1/g au voisinage de a, puis on dit qu'elle est continue en a.