Convergence uniforme de fonction

[nico04]

Bonjour,


J'ai du mal à faire la différence pour montrer qu'une fonction est convergente uniformément sur [a,b] ou sur R

Voici un exercice pour que je puisse comprendre la méthode :

On a :

fn(x) = nx^²/(n+1)


1) Montrer la Convergence Simple


fn(x) = x²/(1+1/n) quand n tend vers ∞ : f(x) = x²


2) Montrer que la convergence est uniforme sur [-1,1]


|fn(x) -f(x)| = |nx²/(n+1) -x²| = x² |n/(n+1) -1| = x² |1/(1+1/n) -1| < 1 * ( 1/(1+1/n) - 1 ) ---> 0

donc uniforme sur [-1,1]


3) La convergence est-elle uniforme sur R ?


Ici je ne sais pas trop comment procéder, est-ce que je dois repartir avec x² |1/(1+1/n) -1| avec x grand ? Ou y a-t-il une autre méthode comme la dérivation pour trouver le sup |fn(x) -f(x)| sur R ?

Merci,
-----

[gg0]

Bonjour.

" est-ce que je dois repartir avec x² |1/(1+1/n) -1|" ben oui, tu as toujours le même problème.
" avec x grand ?" Non, avec x quelconque. Et c'est bien pourquoi tu vas trouver ...

Tu sembles seulement refuser de tirer la conclusion alors qu'elle est évidente ...

Cordialement.

[nico04]

Quand on calcule le sup |fn(x)-f(x)| on choisit une valeur fixe de x ? Dans ce cas pour tout x on a bien |fn(x)-f(x)|<0 (quand n tend vers ∞)

Je crois que pour étudier la convergence uniforme sur R : (-∞ ,+∞ ) je voulais faire tendre x vers +- ∞ au lieu de prendre une valeur fixée, ce qui me bloquait avec une forme indéterminée(du style ∞ * 0) car j'appliquais ensuite n tend vers ∞.

[gg0]

Manifestement,

tu n'as pas compris la méthode que tu es sensé employer. Reviens à la définition de la convergence uniforme; si, si, relis-la. Et regarde le rapport avec le "sup |fn(x)-f(x)|" comme tu dis (écrire à moitié les notations gagne du temps, mais fait perdre le sens des choses - C'est un sup sur fn ? Sur f ? sur x ?).
Ensuite, si tu ne comprends toujours pas comment fonctionne la méthode, reviens le dire, on t'expliquera. Mais dès qu'on cherche à vraiment comprendre, généralement on y arrive. Et ce qu'on a compris seul, on s'en souvient.
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[nico04]

La convergence est uniforme si :

Lim sup | fn(x) -f(x) | = 0
x
(n--> +∞ )

Graphiquement je vois à quoi cela correspond. Maintenant au niveau de la rédaction je n'arrive pas à distinguer les cas où X ∈ [a,b] et X ∈ R.

Si je dois changer quelque chose dans la définition selon les intervalles ce serait :

Lim sup | fn(x) -f(x) | = 0
X ∈ [a,b]
(n--> +∞ )

Lim sup | fn(x) -f(x) | = 0
X ∈ R
(n--> +∞ )

par exemple si on prend fn(x) = (1-x)^n x ∈ [0,1]
la convergence est simple ( f(x) = 0 ) mais pas uniforme, et là il y a une utilité d'avoir choisi l'intervalle.
et la convergence est uniforme pour [a,1] a>0

Pour en revenir à l'exercice du début, c'est peut-être parce que le cas est trop simple que je n'arrive pas à le rédiger correctement. J'ai l'impression d'avoir la même question au 2 et 3.

[gg0]

Si on a une définition incomplète, on fait un peu n'importe quoi. de même, si on ne dit pas tous les mots :

"Soient f et une suite de fonctions, toutes définies sur un domaine I de . La convergence de vers f sur I est uniforme si :

(je n'ai pas pu le mettre en gras, mais remarque le pour le sup.

Que tu sois sur un intervalle ou sur , ça ne change rien à la méthode : Pour chaque f_n tu prends le sup, puis tu regarde la limite de ces sup.

Et ton exercice du début est ridiculement facile ...

NB : "Voir graphiquement" ne suffit pas; il faut apprendre complètement les règles.