Formes différentielles

invitecbade190 · 13/12/2014, 14h58

Bonsoir à tous,

Soit $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ .
Soit l'application : $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ n'est pas un $\text{[math]}$ - module, car n'est pas $\text{[math]}$ - linéaire, mais, $\text{[math]}$ - linéaire et vérifie la règle de Leibniz suivante : $\text{[math]}$ .
Son noyau est le $\text{[math]}$ - espace vectoriel des fonctions localement constantes sur $\text{[math]}$ . C'est donc, $\text{[math]}$ , si $\text{[math]}$ est un domaine.
Les éléments de son image sont par définition les formes différentielles exactes.
Si $\text{[math]}$ est une forme différentielle exacte, on dit que $\text{[math]}$ est une primitive de $\text{[math]}$ .

Pourquoi : $\text{[math]}$ est une forme non exacte qui n'admet pas de primitive $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Seirios** · 13/12/2014, 15h52

Bonjour,

Une méthode est sans doute d'intégrer ta forme différentielle le long du cercle unité. Cette intégrale doit être non nulle, alors que l'intégrale d'une forme différentielle le long d'une courbe fermée est toujours nulle.

invitecbade190 · 13/12/2014, 16h15

Merci pour cette réponse Seirios, néanmoins, je ne suis pas assez rodé pour comprendre l'idée de ton message.
Si $\text{[math]}$ vérifie : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , non ? et donc, $\text{[math]}$ , si on choisit un chemin fermé $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , dont l'origine et extrémité sont égaux et égaux à $\text{[math]}$ , et si $\text{[math]}$ n'est pas contenue dans l’intérieur de $\text{[math]}$ . En revanche, si $\text{[math]}$ appartient à l'intérieur de $\text{[math]}$ : cercle unité, alors $\text{[math]}$ , et donc, $\text{[math]}$ , n'est pas bien définie en $\text{[math]}$ , non ? Donc, $\text{[math]}$ n'existe pas, non ?
Merci d'avance.

**Seirios** · 13/12/2014, 20h12

Il y a pas mal de coquilles dans ce que tu écris. Essaie plutôt de : 1) montrer que l'intégrale d'une différentielle exacte le long d'un chemin fermé est nulle, 2) calculer l'intégrale de ta forme différentielle le long du cercle unité, 3) conclure.

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invitecbade190 · 13/12/2014, 20h17

Peux tu citer quelles sont précisément ces coquilles dont tu fais allusion dans ton message précédent, et les corriger ?
Merci d'avance.

**gg0** · 13/12/2014, 20h18

Envoyé par Seirios

Il y a pas mal de coquilles dans ce que tu écris.

............

**Seirios** · 14/12/2014, 10h08

Envoyé par chentouf

Peux tu citer quelles sont précisément ces coquilles dont tu fais allusion dans ton message précédent, et les corriger ?

À vrai dire, ton message est plutôt confu, j'ai l'impression que tu mélanges plusieurs choses. Ici, il faut juste manipuler la définition d'intégrale d'une forme différentielle le long d'une courbe. Le mieux serait que tu reprennes ton cours, et ensuite que tu retravailles l'exercice.

invitecbade190 · 14/12/2014, 12h38

Oui, j'ai repris mon cours, et je retravaille en ce moment cet exercice, mais, je ne vois toujours pas l'erreur que je commets dans cet exo à vrai dire.
Quelqu'un peut-il m'aider svp ?
Merci d'avance.

**Seirios** · 14/12/2014, 13h27

Déjà, l'écriture $\text{[math]}$ n'a pas de sens : tu intègres le long d'un chemin, intégrer entre deux complexes ne veut rien dire. Ensuite, dans ton expression intégrale de $\text{[math]}$ , il manque un terme constant : dans le cas réel, $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ .

invitecbade190 · 14/12/2014, 14h05

- D'accord, mais ce n'est pas un problème ça, dans le pdf çi joint, tu peux remarquer qu'on utilise la notation $\text{[math]}$ même en analyse complexe, et sans aucun problème.

- J'ai compris pourquoi sur le cercle unité qui contient $\text{[math]}$ , l'intégrale vaut $\text{[math]}$ . J'ai compris aussi pourquoi l’intégrale complexe sur un lacet qui ne contient pas $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ . Mais, est ce que cela répond à mon problème ?. c'est vrai que $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ , je corrige donc ce petit lapsus, donc : $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ , absurde. Donc, $\text{[math]}$ n'existe pas. Est ce le bon raisonnement auquel il faut aboutir en fin de compte ?.

**Seirios** · 14/12/2014, 14h43

Envoyé par chentouf

- D'accord, mais ce n'est pas un problème ça, dans le pdf çi joint, tu peux remarquer qu'on utilise la notation $\text{[math]}$ même en analyse complexe, et sans aucun problème.

Tu remarqueras que l'auteur du pdf précise toujours par rapport à quel chemin il intègre : cet abus de notation peut effectivement être utilisé, mais à condition de préciser le chemin auquel on pense.

Par exemple, ton intégrale $\text{[math]}$ va être différente selon le choix du lacet, d'où l'importance de spécifier le chemin choisi.

- J'ai compris pourquoi sur le cercle unité qui contient $\text{[math]}$ , l'intégrale vaut $\text{[math]}$ . J'ai compris aussi pourquoi l’intégrale complexe sur un lacet qui ne contient pas $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ .

Ce que je t'ai conseillé de faire, c'est de calculer l'intégrale sur le cercle unité. Donc il n'y a pas vraiment à comprendre, mais à calculer.
Tu peux effectivement faire intervenir les résidus, mais il te sera sans doute plus bénéfique de faire le calcul directement.

c'est vrai que $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ , je corrige donc ce petit lapsus, donc : $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ , absurde. Donc, $\text{[math]}$ n'existe pas. Est ce le bon raisonnement auquel il faut aboutir en fin de compte ?.

Déjà, il n'y a pas un bon raisonnement. Mais c'est un argument possible.

Cela dit, j'ai l'impression que tu ne comprends pas vraiment ce que tu as fait, c'est pourquoi je te conseille de suivre le raisonnement que je t'ai proposé au message #4.

invitecbade190 · 14/12/2014, 14h49

Le cours que je suis entrain d'apprendre ne porte pas sur le sujet d'analyse complexe, mais sur les surfaces de Riemann. Je ne vois pas en quoi serait utile de calculer cet intégrale puisque je sais à priori le résultat que ça va me donner.
J'ai appliqué par contre les mêmes étapes que tu m'as tracés, mais tu ne précises pas encore l'idée finale à laquelle il faut aboutir.

**Seirios** · 14/12/2014, 14h57

Envoyé par chentouf

Je ne vois pas en quoi serait utile de calculer cet intégrale puisque je sais à priori le résultat que ça va me donner.

Parce que si tu ne fais qu'invoquer de gros résultats (que tu ne peux pas comprendre sans prendre les choses à la base), alors tu ne comprendras jamais rien à ce que tu fais. En l'occurrence, si tu travailles avec des intégrales de différentielles et que tu ne sais pas calculer une intégrale, tu n'iras pas bien loin...

J'ai appliqué par contre les mêmes étapes que tu m'as tracés, mais tu ne précises pas encore l'idée finale à laquelle il faut aboutir.

Non, relie bien mon message #4. Pour ce qui est de l'idée finale, tu dois pouvoir la trouver si tu comprends vraiment ce que tu fais.

invitecbade190 · 14/12/2014, 15h07

Moi, je ne peux pas deviner l'idée que tu as dans ta tête. J'ai écrit en détail le raisonnement auquel j'ai abouti, c'est tout ce que je peux faire, je ne peux pas au delà de ça.

**Seirios** · 14/12/2014, 15h16

De toute manière, je ne peux pas être plus clair : mon message #4 te donne les étapes à suivre, il n'y a pour ainsi dire plus à réfléchir. Alors tu n'as plus qu'à faire un effort, sinon tant pis.

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