Bonsoir j'ai un petit problème sur mon dm de maths : *** Merci de vous conformer aux règles du forum pour les pièces jointes ***
C'est la question 3e qui me pose problème, de ce que j'ai compris il faut montrer que B est dense dans R mais je vois pas comment le faire
Merci d'avance
Dernière modification par Médiat ; 13/12/2014 à 19h07.
Voici la photo
Idée d'une preuve :
Tu prends un intervalle ouvert quelconque ]u,v[, tu prends le plus petit n tel que v-u > a/2^n. Tu prends p le plus petit relatif tel que (pa)/2^n > u. Tu montres alors que (pa)/2^n < v
J'ai pas compris ça : "tu prends le plus petit n tel que v-u > a/2^n"
Pourquoi on a besoin de cette inégalité ?
L'idée c'est de découper la droite réelle en morceaux de taille plus petit que ton intervalle, de sorte qu'il y ai au moins une coupure qui soit dans l'intervalle
J'ai fait ça :
Soient x et y deux réels tels que x < y.
comme R est archimédien et que y-x est positif, il existe un entier naturel n tel que. Ainsi
De plus en notant
Finalement :
On a donc
En posant u = xa et v =xa, on a pa/2^n qui appartient à un intervalle ouvert ]u,v[ de R donc B est dense dans R
Ça me semble correct, à part une petite erreur de logique :
il faut fixer ton intervalle ]u,v[ dès le début, et poser x=u/a et y=v/a. Ensuite tu déroule ta démonstration
Dsl c'est vrai que c'est plus logique comme ça
Pour montrer le fait que f=g, j'ai fait ça :
Sur B on a f=g d'après la question précédente, or B étant dense dans R tout élément x de R est limite d'une suite zn d'élément de B.
On a donc lim zn (+inf) = x donc lim f(zn) (n->+inf) = lim g(zn) (n->+inf)= f(x) =g(x) car f et g sont continues sur R, d'où f=g
Je me suis trompé c'est lim f(zn) = lim g(zn) quand zn->x et non quand n->+inf
Heu ... la limite d'une suite c'est bien quand n tend vers l'infini.
Mais tu as dit que zn tend justement vers x.
