rayon de convergence nul

[invitedb34050e]

Bonjour,
svp pour une série entière de rayon R=0 pourquoi la série ne converge que pour z=0 ?
On si |z|<R alors la série converge absolument
si |z|>R alors la série diverge grossièrement
si |z|=R on n peut pas conclure , non?
Merci
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[gg0]

Une série entière converge toujours pour z=0.

"si |z|=R on n peut pas conclure , non?" Non, très exactement, il y a des cas où il y a convergence systématique, d'autres où il y a divergence systématique, d'autres où suivant les arguments de z, cela varie. Pour z=0 on est, de façon évidente, dans le premier type de cas.
Il ne faut pas traduire "on ne peut pas conclure " (sous entendu sans autre renseignement) par "on ne peut pas traiter la question".

Cordialement.

[invitedb34050e]

Merci beaucoup.
Pourquoi le rayon de convergence de la série telle que an=1 et égal à 1?

[un_]

Avec la règle de D'Alembert c'est immédiat, si |a_(n+1)|/|a_n| tends vers L alors R=1/L.

[A voir en vidéo sur Futura]