Petites questions simples sur les hypothèses des théorèmes d'interversion lim integrales.

[invite8f6d0dd4]

Bonsoir,

J'aurai quelque questions sur les hypothèses de différents théorèmes.
Avant tout, mon but n'est pas de chercher des démonstrations mais simplement de savoir si oui ou non sous telles hypothèses je peux appliquer le théorème. En effet, je suis en Licence de Physique et mon but c'est plus l'application de ces théorèmes.

Tout d'abord, la limite de la suite de fonctions est elle nécessairement finie : le théorème se généralise il si on tend vers une fonction qui diverge d'abord en des points de mesures nulles, et ensuite en des ensembles de mesures non nulles (ce qui donnerait une limite d'intégrale qui vaudrait + ou -00).

Une question sur un exemple :
Dans mon cours on cherche à montrer que la distribution de Dirac est la limite de ces distributions régulières avec epsilon qui tend vers 0 :



On dit qu'on ne peut pas appliquer le TCD ici.

Je voudrais être sur de la raison : C'est bien parce qu'on ne peut pas prouver l'hypothèse de domination (il n'existe pas de fonction qui la vérifie) ou bien c'est parce que la fonction diverge en x=0 ? (c'est lié à ma question précédente). Car ce n'est pas clairement dit dans le cours, il est juste écrit "TCD non applicable".

Et dernière question : le théorème de convergence monotone s'applique t'il pour un paramètre continu et non plus un entier n discret (car le théorème de convergence dominée s'applique aussi pour un paramètre continu apparemment)?

Merci !
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[invite8f6d0dd4]

Quelqu'un aurait il une idée ?

J'en profite pour préciser que je parle du théorème de convergence dominée (j'avais oublié de l'expliquer...).

Donc pour le TCD : la limite de la suite de fonctions est elle nécessairement finie : le théorème se généralise t'il si on tend vers une fonction qui diverge d'abord en des points de mesures nulles, et ensuite en des ensembles de mesures non nulles (ce qui donnerait une limite d'intégrale qui vaudrait + ou -00).

Et pour le théorème de convergence monotone : peut on le généraliser avec un paramétrage non plus discret mais continu ?

Merci !

[invite33c0645d]

Je ne saurais pas de tête prouver pourquoi le TCD n'est pas applicable. Mais il me semble que ton professeur disait qu'il n'avait pas de fonction dominante qui lui venait aux yeux (entre autre chose à cause de la divergence lorsque est proche de 0).

Pour la question à propos de théorème de convergence dominée pour des variables continues, je te suggère d'invoquer le théorème de caractérisation séquentielle de la limite. Il s'agit de dire que
lorsque $t\to a$ (t un réel par exemple)
c'est exactement la même chose que de demander
pour toute SUITE qui converge vers $a$.

En gros une limite continue c'est une limite séquentielle qui englobe toutes les façon de verger vers ce point $a$.

Je ne suis pas certain d'être très clair. Merci de me préciser les points d'ombre.

[inviteea028771]

Je voudrais être sur de la raison : C'est bien parce qu'on ne peut pas prouver l'hypothèse de domination (il n'existe pas de fonction qui la vérifie) ou bien c'est parce que la fonction diverge en x=0 ? (c'est lié à ma question précédente). Car ce n'est pas clairement dit dans le cours, il est juste écrit "TCD non applicable".

C'est bien parce qu'il n'existe pas de fonction qui vérifie l'hypothèse de domination.

Si le TCD était valide, la limite de cette intégrale serrait nulle (puisque la limite simple de cette fonction est nulle presque partout)

Que la fonction diverge en x=0 n'est pas un problème à priori : il existe des suites de fonctions divergentes en un point qui sont majorés par une fonction intégrable. Par exemple :


Qui est majorée par

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Ok merci à vous deux.

Et donc à priori le TCD est applicable même pour des fonctions qui divergent si l'hypothèse de domination est valide ? Car dans votre exemple vous dites qu'il existe des suites de fonctions divergentes en un point qui sont majorés par une fonction intégrables mais le TCD continue bien d'être valable dans ce cas ???

[invite8f6d0dd4]

Ce que je veux dire c'est la condition nécessaire lim n-> oo fn = f(x) est valable même si f(x) diverge ??? Ce qui donnerait une intégrale divergente.