Stokes sur une sphère et irrationnalité

[invite3f849fe6]

Bonjour a tous !
J'ai 2 questions que je vais regrouper en un post, la première :
J'ai un exercice me demandant de vérifier Stokes sur une sphère, sauf qu'evidemment je ne sais pas trouver le bord d'une sphère, j'ai lu quelquepart qu'il falllait "decouper" la sphère, mais ca ne va pas plus loins.. quelqu'un a une méthode pour faire cela ?

Ma deuxième question est a propos d'un autre genre d'exercice. Dans certains exercices il est demandé si un champ vectoriel peut s'exprimer comme le rotationel d'un autre champs par exemple (V=rot(W) dans un certain domaine. J'imagine qu'il faudrait prouver que ( dans ce cas ) le divergent de V est nul dans ce domaine ? ( En utilisant le théorème de la divergence par exemple ? ). J'ai essayé mais les intégrales deviennent rapidement insolvables, alors je me demandais si ma méthode était bonne, et s'il y en avait d'autres plus efficaces ?

Merci beaucoup !
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Pour ta premiere question, le bord d'une sphere est vide (es tu sur que tu ne parle pas d'une boule).

Oui l'annulation de la divergence du rotationnel est une condition necessaire pour etre le rotationnel de qqch. Peux tu nous donner ton champ V ?

[invite3f849fe6]

Non non je parle bien d'une sphère, d'ou le problême

Le champs est plutot simple :v(x)=x/|x|^3 ( x est dans R^3 )
Le domaine un peu moins, c'est une boule de rayon 1 et centrée en (2,2,2) ( Je le déduis car il est donné D=(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2 < 1 )

[invite47ecce17]

Ben dans ce cas tu as simplement à verifier que le rotationel d'un champ de vecteur tangent à la sphere s'integre en un truc nul sur celle ci.

Pour ton champ tu peux faire un changement de variable et calculer la divergence en spherique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f849fe6]

Le théoréme de stokes ne demande pas d'integrer d'une part sur une surface, et de l'autre sur un chemin ?

Pour le champs j'ai penser que, vu que je devais prouver que la divergence du champs dans ce volume était nul ( En tout point ou s'il s'annule en 1 point ca suffit ? ). Donc j'ai utilisé le thèoreme de la divergence et ca me permet de seulement integrer le champs sur la sphère. Je fais ensuite un petit changement de variable ( x'=x-2 ) afin de recentrer la boule, puis je passe en coordonnée sphérique. Seulement avec le changement de variable, le champ v devient un peux... compliqué ( le module ^3 possède alors des termes en cos/sin )

[invite47ecce17]

Le theoreme de stokes te dit, dans le cas de la sphere que l'intégrale sur la sphere du rotationnel (attention ici le rotationnel est a prendre sur la sphere !) d'un champ de vecteur sur la sphere est nul. Ou encore que l'intégrale du rotationnel d'un champ de vecteur sur la sphere vaut l'intégrale du champ de vecteur (dont tu as pris le rotationnel) sur le bord de la sphere qui est... vide. Si tu veux faire autre choses, il faut que tu precises (par exemple la version du theoreme de Stokes que tu possedes).

Pour le second, non, tu dois verifier la nullité de la divergence en tout point !! Il ne sert a rien d'integrer ici, calcule la divergence en spherique directement.

[invite3f849fe6]

Je vois ! Donc en fait je dois prouver la nullité, si c'est bien ca, c'est plus clair, merci !

Par contre pour le second, je comprends que juste calculer la divergence pourrais le faire, mais dans ce cas, comment le domaine interviens si je n'intègre pas dessus ? Et les coordonnée sphérique pour une boule "excentrée", il suffit de rajouter la constante dans le passage cartesiens => sphérique ? ( Comme par exemple, x = 2 + Sin(theta)Cos(Phi) ( désolé, je ne sais pas utiliser LateX ) )

[invite47ecce17]

Le domaine te sert a delimiter l'endroit où tu vas verifier que la divergence est nulle.

[invite3f849fe6]

Et comment je l'introduis dans mes calculs ?

[invite47ecce17]

Comment tu introduis quoi ?
C'est exactement la meme chose que si je te demandais de verifier que la fonction x-> x-|x| est nulle sur R^+
Ici tu vas calculer la divergence et verifier qu'elle est nulle sur la boule qu'on te propose.

[invite3f849fe6]

Donc si je résume :
Il faut que je calcul la divergence en coordonnée cartésienne, puis je remplace :
x=2+r*cos(u)sin(v)
y=2+r*sin(u)sin(v)
z=2+r*cos(v)

Une fois cela fait, je devrais ( si le champs découle bien du rotationel d'un autre champs ), que pour 0<r<1,0<v<pi,0<u<2pi , le divergent avec les nouvelles coordonnées est nul ?

[invite47ecce17]

Il vaut mieux que tu calcules directement la divergence en spherique, tu as certainement l'expression dans ton cours, ou elle se trouve sur le net.
Ta fonction c'est e_r/r^2

[invite3f849fe6]

Effectivement je l'ai ! ( Mais l'exercice étant présent a l'examens d'une année , et sans notes, je pense que je n'aurais pas pu l'utiliser ! )
Merci pour l'aide !!