Définition de l'intégrabilité

[inviteed436f76]

Bonjour


J'ai la définition suivante de l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle I :
il existe M réel positif tel que sur tout segment [a,b] de I, int(|f|,[a,b])<=M

et je me demandais pk on peut pas dire directement "il existe M réel positif tel que int(|f|,I)<=M"


en effet, on sait que f intégrable sur I <=> l'intégrale de f converge absolument sur I <=> (si je ne m'abuse) il existe M réel positif tel que int(|f|,I)<=M


Merci d'avance pour vos éclaircissements


Autre point qui n'a rien à voir, comment fait-on pour afficher des formules dans les messages sur ce site ? ça me permettrait de faire des messages plus lisibles pour vous que int(f)<=M........
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[gg0]

Bonjour.

Pour les formules vois ce lien :http://forums.futura-sciences.com/ma...res-forum.html

Pour l'intégrabilité, il faudrait voir de plus près ton cours, peut-être l'intégrabilité est-elle définie avant la notion d'intégrale (on ne suppose pas connue de notion préalable d'intégrale).

Cordialement.

[inviteed436f76]

Merci pour ta réponse,

L'intégrale est définie avant la notion d'intégrabilité dans mon cours (intégrale de Riemann)

[inviteed436f76]

bon... personne n'a d'idée donc ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

J'ai la définition suivante de l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle I :
il existe M réel positif tel que sur tout segment [a,b] de I, int(|f|,[a,b])<=M

et je me demandais pk on peut pas dire directement "il existe M réel positif tel que int(|f|,I)<=M"

C'est pour prendre en compte la possibilité d'un intervalle qui n'est pas de la forme , par exemple ou ; dans le cas où I=[a,b], cette précaution est clairement inutile.

Cette précaution est nécessaire en général, puisque l'intégrale de Riemann n'est définie de prime abord que pour les intervalles compacts. Ainsi, pour considérer des intervalles non compacts, il faut essentiellement « épuiser » l'intervalle par ses sous-intervalles compacts et voir qu'à la limite de l'épuisement, les intégrales convergent vers une même valeur.

Pour mieux comprendre cette nuance, procédons par analogie avec la sommation d'une série. De prime abord, nous ne savons sommer qu'un nombre fini de termes, cette finitude correspondant aux intervalles compacts. Pour sommer un nombre infini de termes, nous calculons la somme de chaque sous-ensemble fini de ces termes et nous étudions de quelle façon ces sommes se comportent les unes par rapport aux autres dans la limite d'un nombre infini de termes.

Dans cette analogie, votre critère d'intégrabilité correspond à dire (brièvement) qu'une série converge si elle converge absolument. D'ailleurs, ceci montre que votre définition est un peu trop restrictive : il n'y a pas d'intégrabilité « conditionnelle » possible.

en effet, on sait que f intégrable sur I <=> l'intégrale de f converge absolument sur I <=> (si je ne m'abuse) il existe M réel positif tel que int(|f|,I)<=M

Votre première équivalence n'est qu'une reformulation de votre définition. Après tout, qu'est-ce qui converge, sinon qu'une suite d'intégrales définies sur des sous-intervalles ? Votre seconde équivalence nécessite une définition de l'intégrale sur un intervalle I si I n'est pas compact, donc vous tournez en rond.

[gg0]

Bonsoir.

A priori, l'intégrale de Riemann ne se définit que sur un intervalle fermé borné. Donc si I n'est pas un intervalle fermé borné, intégrer sur I n'a pas de sens au départ.
Ton cours, après avoir défini l'intégrale de Riemann sur un intervalle [a;b], définit l'intégrabilité sur un intervalle quelconque (fini ou infini), puis l'intégrale (généralisée) sur un intervalle quelconque comme une limite. Me trompé-je ?

Dans ce cas, tout est cohérent : il existe M réel positif tel que int(|f|,I)<=M n'a pas de sens si I n'est pas une intervalle fermé borné. Il te faut regarder de plus près ton cours, et comment il se construit.

Si ce n'est pas cela, difficile de t'aider sans avoir ton cours.

Cordialement.

NB : On peut définir encore une intégrale généralisée pour certaines fonctions pour lesquelles int(|f|,[a,b]) n'est pas borné pour les [a,b] contenus dans I.

[inviteed436f76]

Merci beaucoup pour vos réponses, ça m'a obligé à bien me replonger dans la construction des intégrales de Riemann et des intégrales impropres et maintenant tout est très clair


Dans mon cours, on a bien défini la convergence d'intégrales avant de définir l'intégrabilité d'une fonction,
donc je ne me trompe pas en disant que mon prof a pris une précaution inutile en utilisant une définition de l'intégrabilité qui ne fasse appel qu'à des intégrales sur des segments, dans la mesure où on avait déjà défini les intégrales impropres ?


Encore merci pour vos réponses