Sous espace de Banach fermé

[invite5041ad5e]

salut a tous
considerons le sous ensemble de
comment montrer que est une sous espace fermé de muni de la norme de convergence uniforme?? merci
voila ce que j'ai fait
soit converge vers une fonction et on montre que est dans

et comme f est continue
on deduit que est une espace fermé de est-ce que c'est juste ?
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[invite9dc7b526]

Si tu peux montrer que l'application f->f(0) est continue, ton ensemble sera fermé comme image réciproque d'une partie fermée.

[invite5041ad5e]

considerons la forme lineaire

comme est bornée implique q'elle est continue ? et maintenant cmment deduire que est fermé?

[invite93e0873f]

Bonjour,

salut a tous
considerons le sous ensemble de
comment montrer que est une sous espace fermé de muni de la norme de convergence uniforme?? merci
voila ce que j'ai fait
soit converge vers une fonction et on montre que est dans

et comme f est continue
on deduit que est une espace fermé de est-ce que c'est juste ?

C'est une preuve, pour autant que nous nous entendions sur la signification de la phrase « et comme f est continue » .

Puisque la norme sur F (et donc sur E) est la norme de la convergence uniforme, dire que la suite converge (dans E) vers f signifie que cette famille de fonctions converge uniformément vers une fonction . En vertu du théorème de la convergence uniforme, puisque [0,1] est compact, cela signifie que f est continue, donc élément de F. Bon, ce passage entier aurait pu être oublié, puisque nous n'avons vraiment qu'à considérer un élément f dans la fermeture de E dans F, de sorte que nous pouvions déjà supposer f continue...

Bref, f est continue et les convergent (uniformément) vers elle ; en particulier, elles convergent simplement vers f. Ceci implique ; ce n'est pas la continuité de f elle-même qui implique cette égalité. Donc f est élément de E, donc E est fermé.

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Dans la proposition de minushabens, nous utilisons une caractérisation « topologique » des ensembles fermés plutôt qu'une caractérisation « séquentielle » telle que considérée ci-dessus : la pré-image d'un ensemble fermé par une fonction continue est un ensemble fermé. En particulier, puisque les singletons de sont fermés, la pré-image d'un singleton par une fonction réelle continue est un ensemble fermé du domaine.

Ici, nous considérons une application d'évaluation . Puisque , il s'agit de ; donc si est continue, E est fermé.

Or, A est une application linéaire, alors pour montrer qu'elle est continue, il suffit de montrer qu'elle est continue en n'importe quel point, par exemple autour de la fonction valant identiquement 1 (cela correspondrait mieux au problème présent), mais par exemple aussi autour de la fonction valant identiquement 0. Dans ce dernier cas, la continuité de A (autour de la fonction nulle) s'écrit comme suit :



Ici, il y a un candidat assez évident, voire naturel, pour ...

Remarque : c'est un fait assez général que les applications « pour un point du domaine donné, évaluer chaque fonction (continue) en ce point » sont linéaires et continues (pour une topologie appropriée sur l'espace de fonctions continues considéré).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

C'est encore plus facile de voir que le complémentaire est ouvert.

[invite5041ad5e]

comment demontrer que le complementaire est ouvert??? voila ce que j'ai fait
et on montre que telle que est-ce que c'est juste ?? et comment continuer ? merci

[invite93e0873f]

En effet ; dans le simple de but de montrer que E est fermé, nous pouvons montrer directement que est ouvert, sans passer par la continuité de l'application A ou en considérant des suites de Cauchy dans E. Une troisième approche sur laquelle momoyoyo pourra se pencher... Merci bien !

[invite93e0873f]

comment demontrer que le complementaire est ouvert??? voila ce que j'ai fait
et on montre que telle que est-ce que c'est juste ?? et comment continuer ? merci

Oui, l'idée est de montrer l'existence de telles boules . Pour continuer, il faut penser au problème précis : que signifie ? Quelle notion de distance y a-t-il dans F ? À quoi donc correspond concrètement (pour un f arbitraire de F) ?

[invite5041ad5e]

j'ai introduit l'espace complementaire de E et la distance utilisée est

[invite93e0873f]

D'accord.

Bon, pour vous aider à conclure, dessinez le graphe de n'importe quelle fonction f de . Dans ce dessin, dans quelle région se trouveraient toutes les fonctions de , pour n'importe quel r fixé ? Une fois ceci déterminé, il devrait être aisé de choisir r (dépendant de f) de sorte qu'aucune fonction de ne soit dans E ...