Limite inf d'une suite de fonction convexe.

[Turgon]

Bonjour.

Je me posais la petite question suivante par rapport aux suites de fonctions convexes.

Soit une suite de fonction convexes de dans . On suppose que:

- Pour tout on a existence de dans

- les suites et convergent dans (si on veut simplifier, on peut les supposer constantes)

Ma question est: est-ce que dans ces conditions, la fonction (la limite inférieure des ) est convexe?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Universus]

Bonjour,

Non, la convexité de la limite inférieure n'est pas assurée. Par exemple, en prenant pour domaine , considérons la suite telle que

et

Ainsi, la limite inférieure est et elle n'est pas convexe.

Si nous considérions la limite supérieure cependant, je pense que cela fonctionnerait.

[Turgon]

Merci pour ta réponse Universus.

Malheureusement, c'est bien d'une limite inf dont j'ai besoin. Pour être, plus précis, je voulais utiliser une propriété de ce genre pour montrer que si la limite des fn(a) est plus grande que la limite des fn(b) alors la limite inf des fn allait décroitre aux voisinage de a...

Manifestement, il faut des hypothèses bien plus forte, soit de convergence uniforme, soit sur les fn (mais même en les supposant continues, ton contre-exemple a l'air adaptable).

Tant pis !

[Universus]

Bonjour Turgon,

Pour être, plus précis, je voulais utiliser une propriété de ce genre pour montrer que si la limite des fn(a) est plus grande que la limite des fn(b) alors la limite inf des fn allait décroitre aux voisinage de a...

Il me semble que cette propriété peut se démontrer un peu plus directement. Bon, je ne sais pas exactement ce que tu as en tête comme problème, donc je vais en énoncer un et m'y attarder.

Je reprends tes deux conditions, légèrement modifiées.

Soit une suite de fonction convexes de dans . On suppose que:

- Pour tout on a existence de dans

- les suites et convergent dans .

Si , alors le supremum de la fonction est atteint en (si l'inégalité est stricte, alors le supremum est atteint uniquement en x=a).

En fait, nous allons montrer un résultat plus fort que cela. Déjà, notons que pour tout , l'égalité tenant en et en . Sans perte de généralité, nous pouvons supposer pour tout n. Considérons les fonctions linéaires . Par convexité, , donc . Par convergence de la suite sur le bord, , qui est une fonction décroissante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Turgon]

Oh, je me demande si ton deuxième résultat ne résout pas en bonne partie mon problème. Je vais l'énoncer comme ça tu sauras, mais sortis de son contexte, il n'est pas hyper intéressant.

Considérons un espace métrique borné, complet dans lequel deux point quelconques peuvent être joints par un plus court chemin (un chemin de l'un à l'autre dont la longueur est égale à la distance entre les points), le point clé étant que notre espace n'est pas forcément localement compact.

Je considère dans cette espace une suite de points et la fonction qui à associe .

Je suppose ensuite qu'il existe un point tel que:

1) n'est pas seulement une limite inf, mais une limite

2) est un minimum local de

Je veux montrer qu'alors est un minimum global de .

Par l'absurde, je suppose que n'est pas un minimum global, i.e. il existe tel que . Considérons alors une sous-suite de telle que la suite ait pour limite .
Considérons ensuite la fonction . On remarque que:

1*) et , en particulier .

2*) en plus d'être une limite inf, est une limite en et

3*) d'où en particulier que est un minimum local pour

C'est là que je me retrouve avec un problème d'analyse: pour prouver ma contradiction, je veux montrer que 3*) est faux si 1*) et 2*) sont vrais.

Soit un plus court chemin entre et paramétré par la longueur d'arc.

Pour tout indexant la suite on considère la fonction qui à associe .

Toutes les fonctions sont continue, 1-lipschitziennes et convexes (elles sont même ce qu'on appelle -convexes pour ce qui signifie que si deux points sont reliés par une fonction de alors est inférieur à cette fonction entre ces deux points (pour ce cela implique la convexité).

De plus pour tout , , donc la limite inf des a le même comportement que sur le plus court chemin.
On peut enfin remarquer qu'à partir d'un certain , décroit au voisinage de .


Et voilà où j'en étais ! Je voulais conclure que décroissait sur le plus court chemin au voisinage de et donc boum n'est pas minimum locale: contradiction. Malheureusement, vu mon niveau en analyse, je suis incapable de prouver que la limite inf des a bien le comportement que je veux (ce qui est peut-être faux d'ailleurs).

C'est généralement dans ces moments que je m'en remet à une forum de math . Voilà! Comme ça tu as toutes les données en main...

[Universus]

Bonjour Turgon,

Merci d'avoir écrit ce long texte décrivant ta problématique !

Je pense que mon dernier message soutient ce que tu cherchais à démontrer. Après tout, tu n'as pas réellement besoin que soit convexe*, ni même qu'elle soit décroissante près de , mais seulement qu'elle vérifie pour . Pour ce faire, il suffit que soit bornée supérieurement par une fonction strictement décroissante près de . Or, pour tout k et est strictement décroissante.


* Sans considération de mon contre-exemple du message #2, il est aisé d'obtenir (dans le contexte de ton problème) des situations où n'est pas convexe : imaginons par exemple que les soient sur .

[Turgon]

Merci beaucoup pour ta réponse Universus !

C'est parfait, mon petit lemme est maintenant prouvé ! Si un jour (lointain encore vu mon niveau actuel) j'arrive à prouver la (beaucoup plus dure) proposition qu'il est censé aider à démontrer, je te demanderais ton nom pour te mentionner parce-que si personne ne l'a démontré, ça pourrait peut-être faire un bout d'article. Rdv dans quelques mois/années peut-être donc !

[Universus]

C'est une attention qui me va droit au coeur, mais je n'ai aucun mérite : le hasard a fait que j'ai été le premier forumeur à lire une question somme toute aisée à répondre, mais qui ne l'aurait pas été autant si tu ne l'avais si bien identifiée et circonscrite au sein de ton problème. Donc si tu as « quelqu'un » à féliciter, c'est toi, puis le forum, mais certainement pas moi.

S'il y a de quoi, tu m'écriras un message privé afin que je puisse prêter attention à cet éventuel article.

Bon travail !

[Universus]

Après réflexion, j'aimerais revenir sur ce passage :

Toutes les fonctions sont [...] convexes [...]

Comment démontres-tu cela ? Contrairement à ce que j'ai cru en te lisant la première fois, cela ne découle pas simplement de l'inégalité triangulaire : en considérant sur la sphère une géodésique entre deux pôles et en considérant le point P antipodal au point à mi-chemin de cette géodésique, la fonction est concave.

Peut-être faut-il prendre en compte les hypothèses sur et sur , mais je ne vois pas comment...

[Universus]

Bonjour,

J'ai peut-être trouvé un contre-exemple à la situation que tu considères : je pense avoir trouvé un espace métrique X borné et complet, une suite et un point vérifiant les hypothèses (1) et (2) du message #5 sans pour autant que le minimum global de la fonction y soit atteint.

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La construction va comme suit. Je n'ai pas vérifié si X est bel et bien un espace métrique complet, mais je me fie au fait que ce genre de construction fonctionne dans des cas un peu plus familiers.

Soit un espace de Hilbert de dimension infinie et considérons la boule unité fermée (disons centrée à l'origine). En considérant l'application identité , nous obtenons un ensemble .

La structure métrique est construite de la façon suivante. En premier lieu, considérons sur chaque copie de B la métrique induite par le produit scalaire de H. Ce faisant, X est complet et borné. Cependant, nous modifions la métrique sur la deuxième copie de B comme suit : si est une boule ouverte (dans B, centrée en 0) de rayon 1/2, nous transformons la métrique « riemannienne » (B étant vue comme une variété de Hilbert) de manière lisse par un facteur conforme (ne dépendant que de la distance à l'origine) approprié. Ce faisant, la seconde copie de B est toujours un espace métrique complet borné (il me semble), mais de rayon différent de 1 ; X est donc encore complet et borné.

Pour la suite , nous considérons une suite orthonormée (dans le premier B) sans répétition. Soient et les « origines » des deux boules B. Par construction, les fonctions et sont des constantes différentes, donc les limites existent. De plus, dans la première copie de B, minimise la limite inférieure ; par analogie, dans la deuxième copie de B, doit en faire autant.

Ainsi, la fonction admet deux points ( et ) satisfaisant les hypothèses (1) et (2) du message #5, mais un seul est un minimum global.

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Cet exemple vous semble-t-il concluant ?

Cordialement,

Universus

[Turgon]

Oui pardon, mon erreur est d'avoir mal spécifié toutes les hypothèses que je prend sur l'espace.

Le fait que mes fonctions de distance par rapport à une géodésique soient E-convexes tient au fait que je le suppose à courbure globale négative (j'avais oublié de le dire!!), mon raisonnement ne peut pas du tout se faire dans des espaces métriques quelconques (car l'outil de base, la convexité des fonctions de distance à un plus court chemin n'est pas à notre disposition).

Après peut-être que ton contre-exemple me contredit quand même (dans ce cas oups pour moi ) mais il faut d'abord vérifier que:

1) Le recollement est géodésiquement complet: deux points quelconques peuvent être joint par un plus court chemin (les deux centre le peuvent et deux points "provenant d'un même diamètre" sur chacune des deux boules le peuvent, mais les autres?)

2) Si c est un plus court chemin entre deux point, et a un point de X, alors la fonction distance de a aux points de c est convexe (condition suffisante: X est un espace de courbure globale négative: pour tout triangle dans X et tout triangle dans le plan d'arrêtes de même longueur que celui de X, les angles dans celui du plan sont plus grands que ceux dans celui de X).

[Universus]

Ah ! Si la « convexité » (2) est une propriété des espaces d'intérêt (à la lecture du message #5, cette « convexité » me semblait présentée comme un fait général), alors le problème me paraît résolu.