Question sur les espaces de Banach

[meliissou]

Bonjour chers matheux,
Je suis étudiante à la TSE en L3, et j'ai une question à vous poser par rapport aux espaces de Banach.
Bon tout d'abord on a un exercice que j'arrive à faire sans aucun problème dont l'énoncé est le suivant:

Soit E=C([0,1],R) montrer que l'espace E muni de la norme 1 n'est pas un espace de Banach!

Pour la résolution tout est ok il suffit de trouver une suite de Cauchy(cad une suite convergente) qui ne converge pas dans l'espace et de le montrer.

Mais la question que je me pose c'est comment (sans indication de l'énoncé) sait-on si l'espace dont il est question est un espace de Banach ou pas à première vu?
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[maatty]

que veut dire à première vue?
La question de savoir si une espace normé est complet est toujours liée à la norme dont on le munit.
Sinon pour répondre à la question à première vue, je dirai s'il il n'a pas de trou!

[meliissou]

ben justement le fait qu'il n'ait pas de trou veut dire qu'il est de banach non? or là il faut démontrer qu'il n'est pas de Banach! et que voulez vous dire par "tout dépend de la norme"? par exemple là je sais montrer qu'il n'est pas de banach parce qu'on me l'a dit dans l'énoncé mais si on m'avait demandé est-ce qu'il est de Banach là je n'aurais pas su répondre car je ne sais pas comment le savoir, en tenant compte de l'espace de la norme etc...

[gg0]

Ben, pourtant, c'est la même question !

On a un espace normé, on essaie de prouver qu'il est complet; ou on essaie de trouver un contre exemple. Puis si on coince, on fait le contraire.
Tu es à un niveau où la question "qu'est-ce qu'il faut faire pour résoudre sans réfléchir un exercice" commence à n'avoir plus de sens. Donc il faut te contenter de savoir ce qu'est un Banach, comment on prouve qu'une suite est de Cauchy, etc. Et ensuite, espérer que les questions que tu voudras traiter ont une réponse pas trop difficile à trouver. Ce qui est faux dans de nombreux cas.
Comme tu débutes, on t'a donné une piste de réflexion, mais plus tard, il est possible qu'il te soit très difficile de prouver que c'est un Banach ou de trouver un contre exemple. C'est normal, il n'y a pas que des preuves simples et des exercices faciles, en maths.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

ben justement le fait qu'il n'ait pas de trou veut dire qu'il est de banach non? or là il faut démontrer qu'il n'est pas de Banach! et que voulez vous dire par "tout dépend de la norme"? par exemple là je sais montrer qu'il n'est pas de banach parce qu'on me l'a dit dans l'énoncé mais si on m'avait demandé est-ce qu'il est de Banach là je n'aurais pas su répondre car je ne sais pas comment le savoir, en tenant compte de l'espace de la norme etc...

oui, s'il n'a pas de trou, il est complet! Mais à priori on ne peut pas sur des espaces abstraits deviner s'ils sont complets ou non pour la norme en question. Ce que je veux dire par tout dépend de la norme, c'est qu'un espace peut être complet pour une norme est pas pour une autre, après, les démonstrations peuvent être compliquées (et j'avoue que c'est un peut loin!) A ton niveau, il s'agira toujours de prendre une suite de Cauchy pour la norme définie et vérifier si oui ou non elle converge pour cette norme. Après tu verras (ou tu as peut-être déjà vu) des théorèmes dont on peut se servir du genre un sev fermé d'un espace normé est complet (si je dis pas de bêtise). Maintenant si tu viens de commencer et que, comme tu le dis, l'exercice que tu as résolu ne t'as posé aucun problème, c'est plutôt bon signe, tu n'as aucune raison de t'inquiéter, on vous donnera toujours un minimum d'explications
Au fait, désolé pour mon impolitesse, Bonsoir à tous!

[meliissou]

Je sais ce que c'est qu'un espace de Banach je sais comment montrer qu'une suite est de Cauchy est également comment montrer qu'un espace est ou n'est pas de Banach!je sais faire cet exo en prenant un contre exemple d'une suite linéaire continue et convergente (donc de Cauchy) mais qui ne converge pas dans l'espace ça va de soi! mais c'est parce que l'énoncé me dit de montrer qu'il n'est pas de Banach moi je voulais savoir comment savoir qu'un espace de ce type là est de Banach ou pas si on nous le dit pas , je sais qu'un espace de Banach est un espace complet cad que toute les suites convergentes de l'espace sont de cauchy et converge dans l'espace. Je sais reconnaitre un espace de Banach quand il est simple à se le représenter géométriquement ou algébriquement par exemple je sais que l'ensemble R* n'est pas de Banach étant donné qu'il a un "trou" (si on prend l'exemple de la suite 1/n c facile a voir) mais ce que je ne sais pas voir c'est quand il s'agit d'espace un peu plus complexe du même type que l'exercice que je n'arrive pas à me représenter géométriquement de ce fait j'ignore "à première vu" si toutes suites convergentes de cet espace convergent dans l'espace! là ce qui facilite l'éxo c'est qu'on sait ce qu'on veut démontrer donc ça me guide !
Mais généralement j'aime mieux comprendre tous ce que je fais même si la je comprend parfaitement ce que je fais mis à part ce détail qui peut être n'est pas intéressant en soi car je peux me dire qu'à l'examen ça sera indiqué mais mon but ce n'est pas l'examen ! après pour quelqu'un qui a fait des années d'études en mathématiques ça peut paraître "idiot" comme question, mais bon je ne suis qu'à ma troisième année d'étude en mathématique du supérieur donc je suis en plein apprentissage et je suis pas du genre à apprendre des méthodes "par cœur" donc je me permet de poser la question comment savoir? j'espère que vous me comprenez parce que je suis une personne qui s'exprime très mal

[meliissou]

Merci , ça m'éclairci. Donc à mon niveau je suis pas sensée savoir dire si un espace est de Banach ou non? on nous le dit et ce qui reste c'est de le démontrer

[meliissou]

Et non ne vous inquiétez pas je ne vous pas du tout trouvé impoli

[maatty]

alors, je tiens à te rassurer tout de suite, même avec plus d'expérience, il faut te faire à l'idée que dans la plupart des cas, personne ne peut dire "à vue" si un espace est complet ou pas (donc ce n'est pas une question de niveau). Il arrive un moment ou l'on est dépassé par l'abstraction des espaces dans lesquels on travaille (je pense en particulier aux espaces fonctionnels). Il devient trop difficile de se les représenter "géométriquement"; tout ce qu'il reste alors, ce sont les définitions.

PS: attention au sens de tes implications quand tu dis montrer que toutes les suites cv sont de cauchy (c'est tjrs vrai:cv=>de cauchy) c'est le contraire qu'on montre, que rte suite de cauchy et cv!

[gg0]

Mélissou,

pas la peine de t'énerver, personne ne te reproche quoi que ce soit. Simplement, il est malheureusement vrai qu'en maths, pour la plupart des questions, il n'y a pas d'évidence. D'ailleurs on ne sait pas résoudre la plupart des problèmes. Évidemment, ce qu'on apprend, c'est les questions qu'on sait résoudre. Mais déjà pour des équations algébriques, on n'a pas de méthodes algébriques générales pour les équations de degré 5 ou plus. Et des équations très simples comme x=cos(x) n'ont pas de méthode algébro-trigonométriques pour donner les solutions.
Alors savoir intuitivement si un espace normé est complet ou pas ...

Cordialement.

NB : C'est quoi, "la TSE" ?

[meliissou]

Ne vous inquiétez pas, je me suis pas énervée la TSE c'est Toulouse School of Economics ! c'est l'école d'économie de Toulouse