Intégrale et polynome

[invitecf158729]

Bonsoir,

Je rencontre des difficultés face au problème ci-joint. J'ai répondu à la question 1 et 2.

Cependant, pour la 2, je ne parviens pas à simplifier P2, P3 et P4 (j'ai des intégrales dans des intégrales). Auriez vous une solution ?

La question qui me pose problème jusqu'à présent est la 3). Je sais qu'il faut faire une récurrence dont la propriété correspond aux deux conditions présentes dans l'énoncé. Cependant, je ne vois pas comment lancer mon hérédité...

Merci par avance pour l'aide apportée.

Bien cordialement
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[inviteb3412e7c]

Petit rappel de terminale. Quand on a une propriété à démontrer qui dépend de $$n$$, il faut penser à regarder si une récurrence donne une démonstration.

[invitecf158729]

Bonjour,

Votre indice ne m'aide pas du tout malheureusement...

Bien cordialement

[gg0]

Bonjour.

Où est la difficulté de calculer P2 ? Intégrer des polynômes est tellement facile ! L'intégrale est évidente quand on a calculé précédemment, et la notation est définie au début.
Qu'as-tu trouvé pour ? Donc quel est le calcul pour ? Après calcul des intégrales, on obtient ....

Pour la 3, tu as l'hypothèse de récurrence entièrement explicitée (2 propriétés). Il suffit de vérifier qu'elle est vraie pour n=0, puis de supposer ces propriétés vraies pour un entier n et démontrer qu'elles sont vraies pour l'entier n+1; autrement dit, que si vérifie les deux propriétés, les vérifie aussi.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ah, j'ai raté un mot : "unique"

Une fois démontré que vérifie la relation pour tout n, il faut démontrer encore que cette relation définit un polynôme et un seul. Une méthode classique est de supposer qu'on en a deux (distincts ou ps, on ne sait pas encore) et de prouver qu'ils sont égaux. Ici, on peut aussi regarder les coefficients d'un polynôme qui vérifie la relation, et prouver qu'ils n'ont qu'une seule valeur possible. C'est sans doute préférable.

Cordialement.

[invitecf158729]

D'ac, merci pour les indications.

Bonne soirée

Bien cordialement