Espaces de Banach non hilbertien

[invitee24441ed]

Bonjour à tous,
Vu qu'un Hilbert est un espace de Banach normé, je me demandais s'il éxistait des espaces de Banach non hilbertien et si oui si vous aviez des exemples. Je vous remercie d'avance
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[invitea6f35777]

Salut,

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé, un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est euclidienne.

Un espace de Banach dont la norme n'est pas euclidienne n'est par un espace de Hilbert. Une norme est dite euclidienne s'il elle dérive d'un produit scalaire, ie s'il existe un produit scalaire (forme bilinéaire symétrique définie positive) telle que la norme soit donnée par:

Le théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan donne une caractérisation des normes euclidiennes: une norme est eulidienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallèlogramme:

Il existe d'autre caractérisations (théorème de Kakutani ou de Figueiredo-Karlovitz)
Par exemple les espaces avec p différents de 2 ne sont pas des Hilbert mais par contre des espaces qui ne sont pas des Hilberts peuvent être Hilbertisables, c-a-d qu'on peut trouver une norme euclidienne équivalente à la norme de l'espace de Bananch. Tous les espaces de Banachs ne sont pas Hilbertisables, le théorème de Lindenstrauss-Tzafriri dit qu'un espace de Banach est hilbertisable si et seulement si tout sous-espace fermé admet un supplémentaire topologique. De toute façon il existe des espaces de Banach qui ne sont pas réflexifs (Par exemple ) et les espaces de Hilbert sont réflexifs .
référence: chapitre V du livre d'analyse fonctionnelle de Haïm Brezis

[invitee24441ed]

Salut,

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé, un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est euclidienne.

Un espace de Banach dont la norme n'est pas euclidienne n'est par un espace de Hilbert. Une norme est dite euclidienne s'il elle dérive d'un produit scalaire, ie s'il existe un produit scalaire (forme bilinéaire symétrique définie positive) telle que la norme soit donnée par:

Le théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan donne une caractérisation des normes euclidiennes: une norme est eulidienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallèlogramme:

Il existe d'autre caractérisations (théorème de Kakutani ou de Figueiredo-Karlovitz)
Par exemple les espaces avec p différents de 2 ne sont pas des Hilbert mais par contre des espaces qui ne sont pas des Hilberts peuvent être Hilbertisables, c-a-d qu'on peut trouver une norme euclidienne équivalente à la norme de l'espace de Bananch. Tous les espaces de Banachs ne sont pas Hilbertisables, le théorème de Lindenstrauss-Tzafriri dit qu'un espace de Banach est hilbertisable si et seulement si tout sous-espace fermé admet un supplémentaire topologique. De toute façon il existe des espaces de Banach qui ne sont pas réflexifs (Par exemple ) et les espaces de Hilbert sont réflexifs .
référence: chapitre V du livre d'analyse fonctionnelle de Haïm Brezis

Merci beaucoup tu m'as bien éclairé Je peux continuer mes révisions pénard Bonne fin de journée