Suites récurrentes

**nrj06** · 07/02/2015, 17h14

Bonjour, j'aimerai que vous m'aidiez à finir mon exercice..
On définit la suite (un) par u0=1 et pour tout n u_n+1=e^-un

1/Démontrer que l'équation e^-x=x possède une unique solution alpha. Encadrer alpha entre deux entiers consécutifs. J'ai utilisé le théorème de la bijection, pour encadrer alpha j'ai trouvé entre 0 et 1 grâce à la calculatrice mais je suis pas sûr que ce soit la justification attendue.

2/Montrer que pour tout n 0<un<1
Par récurrence je l'ai démontré.

3/Montrer que la suite (u_2p) est décroissante et que la suite (u_2p+1) est croissante.
Je suis bloqué ici, je pense qu'il faut se servir de la composé fof comme j'ai vu dans mon cours mais je ne vois pas comment aborder la question

**nrj06** · 07/02/2015, 17h24

Pour vous aider je peux écrire les question d'après:
4/ En déduire que (u2p) et (u2p+1) convergent respectivement vers l1 appartenant à (0,1) et l2 appartenant à (0,1)

5/ Montrer que l1=l2= alpha
Indication : remarquer et justifier que l1 et l2 sont solutions de l'équation e^((-e)^(-x))=x

**Universus** · 07/02/2015, 17h59

Bonjour,

Envoyé par nrj06

Bonjour, j'aimerai que vous m'aidiez à finir mon exercice..
On définit la suite (un) par u0=1 et pour tout n u_n+1=e^-un

1/Démontrer que l'équation e^-x=x possède une unique solution alpha. Encadrer alpha entre deux entiers consécutifs. J'ai utilisé le théorème de la bijection, pour encadrer alpha j'ai trouvé entre 0 et 1 grâce à la calculatrice mais je suis pas sûr que ce soit la justification attendue.

2/Montrer que pour tout n 0<un<1
Par récurrence je l'ai démontré.

3/Montrer que la suite (u_2p) est décroissante et que la suite (u_2p+1) est croissante.
Je suis bloqué ici, je pense qu'il faut se servir de la composé fof comme j'ai vu dans mon cours mais je ne vois pas comment aborder la question

Pour vous aider je peux écrire les question d'après:
4/ En déduire que (u2p) et (u2p+1) convergent respectivement vers l1 appartenant à (0,1) et l2 appartenant à (0,1)

5/ Montrer que l1=l2= alpha
Indication : remarquer et justifier que l1 et l2 sont solutions de l'équation e^((-e)^(-x))=x

Pour la question (1), on peut faire d'une pierre deux coups : la fonction $\text{[math]}$ est continue (et dérivable) sur l'axe des réels, est positive en x=0 et est négative en x = 1. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $\text{[math]}$ a au moins une solution dans l'intervalle (0,1). Pour l'unicité de la solution, il suffit de montrer que g est strictement décroissante, ce qui se voit bien en considérant sa dérivée.

En tenant comme acquises les conclusions de la question (3), vous devriez pouvoir répondre aux deux dernières questions. L'indication suivant la question (5) devrait cependant être « [...] $\text{[math]}$ » (le « - » n'est pas à la puissance « -x »).

Par contre, afin de résoudre la question (3), il est utile d'étudier dès maintenant la fonction $\text{[math]}$ . Notons que cette fonction est strictement croissante sur tout l'axe réel et à valeurs dans l'intervalle (0,1). Par la stricte croissance de $\text{[math]}$ , une suite de la forme $\text{[math]}$ est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) si et seulement si $\text{[math]}$ (respectivement, $\text{[math]}$ ) ; bref, la monotonie globale d'une telle suite est complètement déterminée par la relation d'ordre entre les deux premiers termes. Vous avez deux cas à considérer : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**nrj06** · 08/02/2015, 07h01

Pour les questions 4 et 5 les deux suites proposées a la question 3 sont des suites extraites de rang pair et impair mais je ne vois pas pourquoi elles convergent vers une limite entre 0 et 1 et pourquoi cette limite est Alpha..

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 08/02/2015, 09h19

Envoyé par nrj06

Pour les questions 4 et 5 les deux suites proposées a la question 3 sont des suites extraites de rang pair et impair mais je ne vois pas pourquoi elles convergent vers une limite entre 0 et 1

Il suffit d'appliquer un résultat de ton cours en utilisant les questions 3 et 2.

et pourquoi cette limite est Alpha..

Si tu as une fonction $\text{[math]}$ définie par récurrence par $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ continue), alors, si $\text{[math]}$ , l'égalité précédente devient $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ .

**nrj06** · 08/02/2015, 09h21

Pour la 4 c'est parce que un est borné donc sa limite est entre 0 et 1 ?

**nrj06** · 08/02/2015, 09h52

La limite est comprise en 1 et Alpha
Pour la question 5 effectivement j'ai écrit ceci dans mon cours mais je n'arrive pas a l'appliquer étant donné que je ne l'ai pas très bien compris..

**Seirios** · 08/02/2015, 12h24

Envoyé par nrj06

Pour la 4 c'est parce que un est borné donc sa limite est entre 0 et 1 ?

Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (comme par exemple $\text{[math]}$ ), il te manque une hypothèse.

**nrj06** · 08/02/2015, 12h25

Il faut qu'elle soit monotome mais ca on ne le sait pas

**Seirios** · 08/02/2015, 14h23

Tu ne cherches pas à montrer que $\text{[math]}$ est convergente (pour l'instant), mais que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont convergentes, et là tu as la question 3.

Sinon, une remarque en passant : il ne faut pas que la suite soit monotone, mais il suffit.

**nrj06** · 08/02/2015, 19h45

Pour la question 4 il faut montrer que u2p est minorée et u2p+1 majorée non ?

**Seirios** · 08/02/2015, 22h12

Oui, mais tu sais que $\text{[math]}$ est bornée, donc il n'y a plus rien à montrer.

**nrj06** · 09/02/2015, 06h07

Les suites de rang pairs et impairs ont les même bornes ?

**Seirios** · 09/02/2015, 07h38

Sur ce point, je te laisse réfléchir, ce devrait être évident.

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