Surface d'un pays

[invite5041ad5e]

salut ... j'ai un problème! on sait qu'on peut calculer les surfaces a l'aide des formules générales comme l'aire dune rectangle ou un cercle mais comment calculer une surface d'un pays a l'aide des mathématique ?? merci
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[Dynamix]

Salut
Le contour d' un pays ' étant pas modélisable par une formule , il n' existe pas de formule mathématique .
Cependant il existe des outils .

[Universus]

Bonjour,

D'un point de vue idéalisé, la géométrie différentielle permet de calculer la superficie de n'importe quelle région « suffisamment régulière » de n'importe quelle surface elle aussi « suffisamment régulière ». Afin de comprendre la formule, il faut connaître la géométrie différentielle ; pour savoir utiliser la formule, il faut connaître le calcul différentiel et intégral dans l'espace.

Par exemple, nous pouvons idéaliser la Terre comme étant une sphère* de rayon R. Les frontières d'un pays pourraient être modélisées par diverses courbes, idéalisées comme étant des courbes lisses par morceaux. Dans ce cas, le territoire d'un pays est une surface « suffisamment régulière » de la sphère.

Prenons la France métropolitaine, dont le territoire est (je présume) connexe, probablement même simplement connexe. Ce faisant, sa frontière est constituée d'une seule courbe, que nous pouvons paramétrer par longueur d'arc : . Grosso modo, cette courbe ressemble à un « hexagone courbe ». Soit le territoire français métropolitain, à savoir « la » région délimitée par la courbe

Dans ce cas, la superficie de se calcule en appliquant la formule générale



où dA est un incrément de surface, que nous pouvons calculer une fois un paramétrage de la sphère connu. En coordonnées polaires, si R est le rayon terrestre, cela s'écrit

, la région F déterminant les valeurs que prennent les variables angulaires (colatitude) et (longitude).

Il s'avère possible d'exprimer cette intégrale différemment, en intégrant non pas sur la surface F, mais sur la frontière C. Cela nécessite de trouver une primitive à l'incrément (c'est-à-dire à la 2-forme différentielle) dA. Il y a une infinité de ces primitives, certaines simples dans leur expression, mais certaines peuvent s'avérer plus utiles pour le calcul, c'est-à-dire plus adaptée à la courbe C précise.

Voilà en principe comment calculer une superficie.

* La rotation de la Terre lui donne une forme globale ressemblant davantage à un ellipsoïde. En principe, nous pourrions aussi travailler avec cette forme ; en pratique, c'est évidemment plus difficile qu'avec la sphère. La Terre a du relief aussi ; le prendre en compte pourrait vous importer. Il vous faudrait cependant utiliser une modélisation précise de ce relief, car le « vrai relief » pourrait avoir un caractère fractal lui conférant une surface infinie...