une fonction

[invitef2472a71]

Bonsoir à tous,
j'ai un problème à faire et je voudrais demander votre aide pour une question.
J'ai f définie sur R+, une fois dérivable, f(0)=0, f' positive, continue et st croissante. J'ai montré que:
a/ f(x)<=xf'(x)
b/ est st croissante

Ce que j'arrive pas à faire, c'est de montrer que xf'(x)<=f(2x)
On m'a donné comme indication de chercher évaluer la différence f(2x)-f(x). Je trouve que la dernière est positive mais je vois pas en quoi ça m'aide...
Ca serait sympa de m'éclaircir les idées...
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[inviteca3a9be7]

Salut,

f(2x)-f(x) = x * f'(c)

[invitec314d025]

Théorème des accroissement finis (comme pour la a).
[EDIT: je suis un peu lent ]

[invitef2472a71]

Bonjour, merci beaucoup pour votre aide, c'est vrai que finalement la question n'était pas aussi difficile que je croyais!!! J'ai pas du tout pensé au théorème des accroissements finis et pourtant c'était pas trop compliqué à voir...
Par contre j'ai une petite autre question que je voulais vous poser.
on définit pour x réel positif la fonction: w_t(x)=tx-f(x) où f est la même mais on suppose de plus que f'(0)=0 et f' tend vers +00 sur +00.
On a montré que w_t(x) admet un maximum qu'elle atteint en unique réel positif x_t. On note alors la fonction qui à tout t positif associe x_t et f* la fonction qui à t associe w_t(x_t).
On montre alors que est une fonction continue, st croissante, que et que tend vers +00 en +00.
Puis on montre aussi que f* est dérivable en tout point et que f' et (f*)' sont des réciproques l'une de l'autre.
Il faut que j'en déduise l'égalité: f**=f et là... je bloque est-ce que vous pourriez me donner un coup de pouce? Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]