Espaces homéomorphes

[invitee7f170e3]

Bonjour,
deux spaces topologique homeomorph ont des groupes fondamentaux isomorph.
La reciproque est il vrai?
thinks
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[minushabens]

Je pense que tu aurais même pu écrire "le même groupe fondamental". Et non, la réciproque n'est pas vraie. Par exemple un espace topologique réduit à un point a pour groupe fondamental le groupe trivial, de même que R^n muni de la topologie usuelle, et ils n'ont même pas le même cardinal.

[Seirios]

Bonsoir,

Comme l'a dit minushabens, la réciproque est généralement fausse, mais des réciproques partielles existent. Par exemple, deux espaces asphériques (ou, de manière équivalete, avec un revêtement universel contractile) avec le même groupe fondamental ont même type d'homotopie; ou encore, deux variétés hyperboliques de volume fini et de même groupe fondamental sont isométriques (théorème de rigidité de Mostow).