Bijection de [0;1] dans ]1;0[

[invitee0998d39]

Bonjour,
J 'aurai voulu savoir si cette application de [0;1] e R dans ]0;1[ e R est bien bijective:

f(x)= 1/2 si x=0
1/(n+2) si x=1/n
x dans les autres cas ?

merci
-----

[invite820993ca]

Est ce que n = n'importe quel nombre entier positif différent de 0, j'imagine ?

[invitee0998d39]

Oui, n e N* , j ai oublié de préciser !

[PlaneteF]

Bonjour,

J 'aurai voulu savoir si cette application de [0;1] e R dans ]0;1[ e R est bien bijective:

f(x)= 1/2 si x=0
1/(n+2) si x=1/n
x dans les autres cas ?

Tu en penses quoi de ton côté ? ... De l'injectivité ? ... De la surjectivité ? ... Soumet ici ton raisonnement et des forumiens pourront te faire un retour.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

J 'aurai voulu savoir si cette application de [0;1] e R dans ]0;1[ e R est bien bijective:

Sinon, ... une remarque, ne confond pas "appartenir à" et "être inclus dans" (ce que j'ai mis en rouge dans ta citation est faux).

Cdt

[invitee0998d39]

Je sais pas trop si je peux faire ça, mais j' ai directement construit f^(-1)(x) de ]0;1[ c R dans [0;1] c R:
f^(-1)(x)=0 si x=1/2
1/(n-2) si x=1/n
x dans les autres cas

puis en faisant (f^(-1)) o f(x) et j' ai vérifié que ça faisait bien x.
J' ai donc pensé que c' était bijectif, car f^(-1) existe et que (f^(-1)) o f = Id.
Est-ce que je peux faire comme ça pour montrer que c' est bijectif ?
merci

[Seirios]

Déjà, tu ne peux pas écrire avant d'avoir montrer que était bijective. Par contre, tu peux définir une fonction puis montrer que et pour en conclure que bijective et que .

[invitee0998d39]

Après vérification, ça fonctionne bien dans les 2 sens, j' entends par la que g o f = Id et f o g =Id, où g est la fonction que j' avais précédemment appelé f^(-1).
Merci, et désolé d' avoir manqué de rigueur!

[PlaneteF]

Après vérification, ça fonctionne bien dans les 2 sens, j' entends par la que g o f = Id et f o g =Id, où g est la fonction que j' avais précédemment appelé f^(-1).

Juste une petite précision, dans les 2 cas il ne s'agit pas de la même fonction .

Si l'on veut expliciter tout cela, on a : et

Cdt

[PlaneteF]

Petite remarque complémentaire :

En montrant que ...

... on montre que est injective ( est inversible à gauche).


En montrant que ...

... on montre que est surjective ( est inversible à droite).


Cdt