Calculer une somme à l'aide de suites

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir,

Je coince sur un problème qui est le suivant :

Calculer .

On me donne comme indication de décomposer la fraction en éléments simples.

C'est ce que j'ai fait et j'ai obtenu .

Après avoir suivi l'indication donnée, je ne vois pas de façon évidente d'arriver au résultat voulu donc j'ai pensé que

,

mais sans succès puisque chaque somme diverge (J'avoue avoir triché en regardant le résultat qu'on recherchait et j'ai pu déduire qu'il était impossible d'arriver à un résultat réel en calculant à partir de trois suites divergentes une à une).

Comme je suis en train de re-visiter le chapitre des limites, suites, etc... j'ai pensé que je pourrais utiliser une suite pour parvenir à mes fins, et j'ai donc recherché à décrire la suite qui donnerait au rang la valeur .

J'ai trouvé la suite définie par récurrence comme et .

À nouveau, rien de concluant puisque je n'arrive pas à déterminer comment calculer .

Merci d'avance pour toute l'aide.

Cordialement
-----

[Seirios]

Bonjour,

Peut-être une idée (je n'ai pas vérifié si cela fonctionne) : comme la série converge absolument, tu peux changer l'ordre de sommation et voir les occurrences de chaque . À première vue, chaque apparaît dans trois termes, et s'annule finalement : .

[invitebbd6c0f9]

Bonjour,

Peut-être une idée (je n'ai pas vérifié si cela fonctionne) : comme la série converge absolument, tu peux changer l'ordre de sommation et voir les occurrences de chaque . À première vue, chaque apparaît dans trois termes, et s'annule finalement : .

Bonjour Seirios,

Je ne suis pas sûr d'avoir tout à fait saisi votre message... Je vois bien que , mais comment en arriver jusque-là puisque au rang on ajoute ? Comment sortir les et pour en arriver à votre proposition? Et qu'est-ce que cela amène sachant qu'on voudrait arriver à ?

Cordialement

[invite93e0873f]

Bonjour,

En décomposant le terme général de la somme initiale en fractions simples, vous avez montré que

.

La somme initiale est convergente, donc la somme de droite converge aussi, la raison étant qu'on peut toujours regrouper des termes consécutifs sans changer la somme totale. Elle n'est cependant pas absolument convergente, contrairement à la suite initiale. Ce faisant, en raison du théorème de réarrangement de Riemann, il faut être un peu prudent avec les arguments de réarrangements auxquels Seirios fait allusion.

En réarrangeant les termes de la somme de droite via une bijection « bornée », la série obtenue converge aussi, et ce vers la même valeur. Par « bornée », j'entends qu'il existe un entier tel que pour tout . Je vous laisse réfléchir au pourquoi de l'invariance de la somme sous une telle bijection.

C'est tout à fait différent de l'expression , qui n'est pas un réarrangement des termes de la série ci-dessus via une bijection (et encore moins via une bijection bornée). Moralement, en sommant tous les termes avant ceux de la forme , vous allez chercher un terme initialement situé à l'infini pour le considérer avant le deuxième terme ! C'est pour cette raison que votre expression diverge : il ne s'agit pas de la même chose.

Ce que Seirios vous suggère, c'est de trouver une bijection (bornée) telle que la série résultante ait la propriété suivante : partir d'un certain rang , vous avez (pour ) , et . Puisque la somme est convergente, vous pouvez regrouper des termes consécutifs ensemble sans changer la somme totale : en particulier, vous pouvez définir des réels via les relations si et pour .

Seirios nous a fait comprendre que les termes sont très simples, en fait nuls, et donc



avec une dernière somme ne consistant qu'en , une somme finie.

Il vous reste à trouver la bijection (bornée) appropriée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

La somme initiale est convergente, donc la somme de droite converge aussi, la raison étant qu'on peut toujours regrouper des termes consécutifs sans changer la somme totale. Elle n'est cependant pas absolument convergente, contrairement à la suite initiale. Ce faisant, en raison du théorème de réarrangement de Riemann, il faut être un peu prudent avec les arguments de réarrangements auxquels Seirios fait allusion.

Effectivement, je n'ai pas regardé la convergence absolue de la bonne série... Merci d'avoir rectifié le tir !

Sinon, je conseille à The_Anonymous d'écrire les premiers termes de la somme pour voir comment les choses se simplifient.

[invitebbd6c0f9]

Bonjour,

En décomposant le terme général de la somme initiale en fractions simples, vous avez montré que

.

La somme initiale est convergente, donc la somme de droite converge aussi, la raison étant qu'on peut toujours regrouper des termes consécutifs sans changer la somme totale. Elle n'est cependant pas absolument convergente, contrairement à la suite initiale. Ce faisant, en raison du théorème de réarrangement de Riemann, il faut être un peu prudent avec les arguments de réarrangements auxquels Seirios fait allusion.

En réarrangeant les termes de la somme de droite via une bijection « bornée », la série obtenue converge aussi, et ce vers la même valeur. Par « bornée », j'entends qu'il existe un entier tel que pour tout . Je vous laisse réfléchir au pourquoi de l'invariance de la somme sous une telle bijection.

C'est tout à fait différent de l'expression , qui n'est pas un réarrangement des termes de la série ci-dessus via une bijection (et encore moins via une bijection bornée). Moralement, en sommant tous les termes avant ceux de la forme , vous allez chercher un terme initialement situé à l'infini pour le considérer avant le deuxième terme ! C'est pour cette raison que votre expression diverge : il ne s'agit pas de la même chose.

Ce que Seirios vous suggère, c'est de trouver une bijection (bornée) telle que la série résultante ait la propriété suivante : partir d'un certain rang , vous avez (pour ) , et . Puisque la somme est convergente, vous pouvez regrouper des termes consécutifs ensemble sans changer la somme totale : en particulier, vous pouvez définir des réels via les relations si et pour .

Seirios nous a fait comprendre que les termes sont très simples, en fait nuls, et donc



avec une dernière somme ne consistant qu'en , une somme finie.

Il vous reste à trouver la bijection (bornée) appropriée.

Effectivement, je n'ai pas regardé la convergence absolue de la bonne série... Merci d'avoir rectifié le tir !

Sinon, je conseille à The_Anonymous d'écrire les premiers termes de la somme pour voir comment les choses se simplifient.

Bonsoir et merci beaucoup pour les réponses!

Je vous remercie Universus pour votre post très complet et détaillé, j'ai pris bien soin de le lire et de le relire, mais j'ai bien peur que certaines notions, mon niveau étant trop médiocre pour comprendre les propriétés que vous utilisez. Je n'ai pas encore entendu parler de somme de Riemann, ni de ce théorème de réarrangement de Riemann; cependant, je veux bien le croire. Je ne me représente pas bien qu'est-ce que donne une permutation (dans ce cas on recherche une bijection si j'ai bien compris), mais j'ai tâtonné un bon bout de temps "à ma manière" et grâce Seirios j'ai écrit les 10 premiers termes de la suite en les séparant en éléments simples à chaque fois et je pense avoir compris ce que vous vouliez dire initialement dans votre première réponse.

Je suis désolé de ne pas pouvoir m'exprimer de la façon dont vous l'avez suggérée, mais j'essaierai de donner une explication du problème comme je l'ai compris en espérant que je serai assez clair.

Voici donc mon raisonnement :

 Cliquez pour afficher

Je pose tout d'abord , et .

On a donc bien .

La chose que j'ai pu remarquée en calculant les premiers termes de la suite, c'est que , et ceci .

Or, je ne sais pas comment le formuler correctement, mais on déduit que .

Je trouve donc le résultat attendu, j'imagine donc que mon raisonnement marche mais la formulation est plus intuitive que formellement correcte.

Merci en tous cas pour l'aide fournie!

Cordialement

[gg0]

Bonsoir L'anonyme !

Pour transformer ton calcul en quelque chose de sain, reviens o la définition de la série comme limite de ses sommes partielles. Tu commences par traiter une somme partielle avec n allant de 3 à un grand nombre N. Tu décomposes en trois sommes (plus de problèmes, ce sont des sommes finies), puis, après avoir laissé de côté les termes qui vont rester, et d'autres, situés à la fin, tu fais un changement d'indices pour montrer que l'essentiel s'annule. Ensuite, en faisant tendre N vers l'infini, les termes finaux tendent vers 0 et il ne te reste que ta somme initiale qui vaut 47/48.

Bon travail !

Nb : parfois, revenir aux définitions est utile.

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir L'anonyme !

Pour transformer ton calcul en quelque chose de sain, reviens o la définition de la série comme limite de ses sommes partielles. Tu commences par traiter une somme partielle avec n allant de 3 à un grand nombre N. Tu décomposes en trois sommes (plus de problèmes, ce sont des sommes finies), puis, après avoir laissé de côté les termes qui vont rester, et d'autres, situés à la fin, tu fais un changement d'indices pour montrer que l'essentiel s'annule. Ensuite, en faisant tendre N vers l'infini, les termes finaux tendent vers 0 et il ne te reste que ta somme initiale qui vaut 47/48.

Bon travail !

Nb : parfois, revenir aux définitions est utile.

Bonsoir,

Ah oui effectivement! Je n'avais pas pensé à faire le calcul de cette manière, mais ça rend les choses plus propres!

Merci beaucoup à tous les trois pour les conseils donnés, je devrais être en mesure de rédiger une démarche correcte maintenant.

Cordialement!

[invite93e0873f]

Bonsoir The_Anonymous,

Mon message était lourd, j'en conviens. En voici la raison.

La somme d'une série (convergente) est toujours comprise dans le sens qu'a indiqué gg0, c'est-à-dire comme suite des sommes partielles. Si le terme général d'une série est décomposé en divers termes (par exemple, passer du terme général à la somme ), nous obtenons une nouvelle série avec un terme général différent ; du coup, nous considérons une toute autre suite de sommes partielles. Pour comprendre ce point, pensez à la série dont le terme général est 0 ; chaque somme partielle est nulle, donc la limite est nulle. Maintenant, si on écrit , ceci « devrait égaler » , qui est une série différente de terme général ; les sommes partielles alternent entre -1 et 0 et la limite n'existe pas. Donc, en fait, les deux séries et ne sont pas égales. Cela montre qu'il faut être prudent avec ce genre d'opérations sur les séries. Le théorème de réarrangement de Riemann dénote aussi de la subtilité de ces questions et j'ai tenté d'écrire un message au langage similaire à celui « nécessaire » pour aborder ces problématiques afin que vous puissiez mieux comprendre en quoi votre exercice évite ces écueils.

Ceci dit, dans la seule idée de résoudre votre problème, d'autres argumentaires plus simples vous permettent de justifier les étapes que vous effectuez dans le spoiler de votre message. Un tel argumentaire vous a été suggéré par gg0. Heureusement qu'il a eu pitié de vous, pris à décoder mes explications