Théorème central limite (Tcl)

[invitee87b5193]

Bonsoir à tous:

J'ai un problème concernant le TCL où je confonds les échantillons (n et N). Ce serait vraiment gentil si vous pouvez m'accorder quelques précieuses minutes!

Le voici:

Une usine fabrique des pièces. Il s'y trouvent N=1500 ouvriers. Chaque ouvriers doit fabriquer n=18 pièces. Chaque pièce est composée de 3 sous-unités.La fabrication d'une pièce étant très difficile, un ouvrier a donc une chance sur 3 de réussir à fabriquer une pièce.
(NB: ne vous étonnez pas de l'irrationnalité du pb, il sans rapport avec la réalité ).

1)Soit X le nombre de pièces réussi par un ouvrier. Suit-il une loi ? Peut il suivre une loi normale? Peut-on l'approximer par le TCL?

Je pense que X suit une loi binomiale B(18;).

Etant donné n*p=18*1/3=6>5 et n*(1-p)=18*2/3=12>5on peut appliquer le TCL et X peut suivre approximativement une loi normale N(.

2)Soit M la moyenne des pièces réussies par l'ensemble des ouvriers. M suit il exactement une loi normale? ou faut'il appliquer le TCL?

Je pense que
or les Xi suivent B(18;), et N>>>30, donc on peut approximer la loi de M par TCL: M suit alors approximativement une loi normale .
Et là je pose la question: est ce que la variance vaut vraiment , car c'est vraiment trop petit, tellement petit que on na l'impression que M=, ce qui est évidemment faux.


En fait j'ignore l'expression de la variance de loi normale ici.
Merci de m'éclairer!

@++
-----

[invitedf667161]

Salut

Il y a en effet confusion (enfin je crois !)

Quand tu as une binomiale B(n,p), la variance est n*p*(1-p). De plus on n'approxime une binomiale par autre chose que quand n>30 ; enfin c'est wikipédia qui le dit ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale.
Donc pour la première je dirais que X suit bien une binomiale B(18,1/3), de moyenne 6 et de variance 18*1/3*2/3 = 4 ; mais qu'on ne peut rien en faire .

par contre pour la deuxième, tu te trouves avec 1500 variables indépendantes qui suivent toutes un B(18,3). Ce que te dit le thèorème central limite c'est que M suit alors asymptotiquement (quand N tend vers l'infini) une loi normale de même moyenne et variance que celle des X_i ; donc de moyenne 6 et de variance 4.

Tu avais confondu le n et le N en effet. Dans le théorème central limite, ce qui s'appelle N ici, le nombre d'observations qu'on l'appelle des fois est destiné à tendre vers l'infini, donc disparait une fois que tu es passé à la limite.

En espérant avoir été clair, ce qui n'est pas gagné !

[invite986312212]

le nombre total de pièce fabriquées dans l'usine suit encore une loi binomiale, de paramètres 18*1500=27000 et 1/3. Tu peux l'approximer par une loi normale de moyenne 9000 et de variance 6000. Ca te permet de déterminer par exemple un intervalle de confiance à 95% pour le nombre de pièces réussies: [8849,9151] alors qu'avec la loi binomiale c'est dificile à cause des calculs de factorielles avec des grands nombres.