Théorème central limite (Tcl)
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 3 sur 3

Théorème central limite (Tcl)



  1. #1
    invitee87b5193

    Théorème central limite (Tcl)


    ------

    Bonsoir à tous:

    J'ai un problème concernant le TCL où je confonds les échantillons (n et N). Ce serait vraiment gentil si vous pouvez m'accorder quelques précieuses minutes!

    Le voici:

    Une usine fabrique des pièces. Il s'y trouvent N=1500 ouvriers. Chaque ouvriers doit fabriquer n=18 pièces. Chaque pièce est composée de 3 sous-unités.La fabrication d'une pièce étant très difficile, un ouvrier a donc une chance sur 3 de réussir à fabriquer une pièce.
    (NB: ne vous étonnez pas de l'irrationnalité du pb, il sans rapport avec la réalité ).

    1)Soit X le nombre de pièces réussi par un ouvrier. Suit-il une loi ? Peut il suivre une loi normale? Peut-on l'approximer par le TCL?

    Je pense que X suit une loi binomiale B(18;).

    Etant donné n*p=18*1/3=6>5 et n*(1-p)=18*2/3=12>5on peut appliquer le TCL et X peut suivre approximativement une loi normale N(.

    2)Soit M la moyenne des pièces réussies par l'ensemble des ouvriers. M suit il exactement une loi normale? ou faut'il appliquer le TCL?

    Je pense que
    or les Xi suivent B(18;), et N>>>30, donc on peut approximer la loi de M par TCL: M suit alors approximativement une loi normale .
    Et là je pose la question: est ce que la variance vaut vraiment , car c'est vraiment trop petit, tellement petit que on na l'impression que M=, ce qui est évidemment faux.


    En fait j'ignore l'expression de la variance de loi normale ici.
    Merci de m'éclairer!

    @++

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : Théorème central limite (Tcl)

    Salut

    Il y a en effet confusion (enfin je crois !)

    Quand tu as une binomiale B(n,p), la variance est n*p*(1-p). De plus on n'approxime une binomiale par autre chose que quand n>30 ; enfin c'est wikipédia qui le dit ici :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale.
    Donc pour la première je dirais que X suit bien une binomiale B(18,1/3), de moyenne 6 et de variance 18*1/3*2/3 = 4 ; mais qu'on ne peut rien en faire .

    par contre pour la deuxième, tu te trouves avec 1500 variables indépendantes qui suivent toutes un B(18,3). Ce que te dit le thèorème central limite c'est que M suit alors asymptotiquement (quand N tend vers l'infini) une loi normale de même moyenne et variance que celle des X_i ; donc de moyenne 6 et de variance 4.

    Tu avais confondu le n et le N en effet. Dans le théorème central limite, ce qui s'appelle N ici, le nombre d'observations qu'on l'appelle des fois est destiné à tendre vers l'infini, donc disparait une fois que tu es passé à la limite.

    En espérant avoir été clair, ce qui n'est pas gagné !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème central limite (Tcl)

    le nombre total de pièce fabriquées dans l'usine suit encore une loi binomiale, de paramètres 18*1500=27000 et 1/3. Tu peux l'approximer par une loi normale de moyenne 9000 et de variance 6000. Ca te permet de déterminer par exemple un intervalle de confiance à 95% pour le nombre de pièces réussies: [8849,9151] alors qu'avec la loi binomiale c'est dificile à cause des calculs de factorielles avec des grands nombres.

Discussions similaires

  1. Théorème Central Limite
    Par invite65a5a92a dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 01/12/2007, 18h10
  2. Limite et theoreme de convergence monotone
    Par invite5c6c2cbf dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 19/11/2007, 13h14
  3. Théorème de la limite centrale
    Par Deeprod dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 28/09/2007, 13h51
  4. Theorème limite et stat
    Par invite61bbd1bb dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 05/04/2007, 10h05
  5. Théorème de Fermat + Limite(s) des Maths
    Par invitea6a71cb5 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 21
    Dernier message: 24/10/2006, 18h26