Bonjour,
Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans cet exercice. J'espère qu'on m'aidera:
Soit (X,d1) un espace métrique et (Y, d2) un espace métrique compact et soit f: X-->Y une application dont le graphe:
G(g)={(x,f(x)) , x∈X } ⊂ XxY est fermé dans XxY .On note p:G--->X la restriction de la projection p(x,y)=x.
Question: Montrer que p est un homéomorphisme entre G et X.
Ma réponse:
- p est continue par définition de la projection
- p est surjective par définition aussi. On montre aisément qu'elle est injective donc p est bijective
- Reste à voir si p-1 est continue. On a p-1: X--->G . On peut montrer que la réciproque d'un ouvert par p-1 est un ouvert. Si O est un ouvert de G alors sa réciproque par p-1 est p(O) (car p-1 inverse de p) est comme les projections sont ouverts, alors p(O) est ouvert donc p-1 continue.
Je ne vois pas où est l'erreur (je n'ai utilisé ni que G(f) est fermé, ni que Y est compact). Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plait?
Merci d'avance!
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