Deux triangles reliés dans l'espace

[inviteca9b3b96]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un calcul mathématique/mécanique dans l'espace et j'ai besoin de votre aide pour le résoudre.
Soient 6 points : A, B, C, D, E et F tels que ABE forme un triangle et CDF forme également un triangle.
A et B sont alignés en X, C et D également. E et F sont liés par une barre rigide.
Quand E débat autour de (AB), alors F est entrainé en rotation autour de (CD). Comment retrouver la position du point F quand j'ai fait débattre le triangle ABE (autour de AB) et que je connais les nouvelles coordonnées du point E.
F décrit alors un arc de cercle autour de (CD). Quelles sont ses coordonnées suite à sa rotation ?

Les points sont caractérisés par les coordonnées suivantes:

Un peu d'aide pour la résolution serait bienvenue.
Merci
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[gg0]

Bonjour.

A, B, C et D sont-ils fixes ?Les triangles sont-ils rigides ? Les jonctions entre les triangles et la barre sont-elle bloquées ou libre ?

Pour l'instant, F fait ce qu'il veut, puisqu'il n'y a p)as de vraie condition sur les points.

[inviteca9b3b96]

Bonjour,

Les 2 triangles sont rigides. Les barres (AB) et (CD) sont supposées fixes car les 4 points sont fixes. Seuls E et F peuvent pivoter respectivement autour de (AB) et (CD)

[gg0]

OK.

A et B étant fixes, AE et BE étant fixés, E décrit un cercle dans un plan perpendiculaire à l'axe AB. idem pour F. Comme la longueur EF est constante, E est l'un des deux points (éventuellement confondus) d'intersection du cercle contenant F avec la sphère de centre E de rayon EF. Comme il n'y a pas de raison que F passe sans raison d'un point à un point éloigné lorsque E varie infiniment peu, le système global est rigide et les variations globales sont des rotations autour de l'axe des x.

Pour une démonstration plus solide, voir un géomètre spécialiste de la rigidité, ce que je ne suis pas.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca9b3b96]

de mon coté, j'avais essayé dans cette direction :

Mais je ne trouve pas ce genre d'équations facile à résoudre--> système d'équations non linéaires. J'aurais pensé trouver une relation angulaire. Quand le triangle inférieur varie d'un angle connu , alors le triangle supérieur varie d'un angle
Je me prends surement la tête futilement mais c'est quand même un problème de géométrie concret

[gg0]

Ben ... comme il s'agit d'une simple rotation, les angles ont les mêmes variations.
Bien entendu si A,B,C et D sont fixes, AE,BE,CF,DF et EF sont des longueurs fixes.

[inviteca9b3b96]

je vais regarder d'un point de vue géométrique.
En supposant F' le projeté orthogonal de F sur (ABCD), je calcule ses coordonnées. J'obtiens donc 3 points E, F et F' qui déterminent un plan. Je crée un point E' qui est à l'intersection de (AB) et de (ABCD). j'obtiens un tétragone EFE'F' et je me rapporte à un "mécanisme à 4 barres articulées" comme présenté dans ce doc https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00657914/document (page 23)
Le fait étant de se ramener à un problème plan je pense, on en déduit la relation angulaire entre le débattement du triangle supérieur et celui du triangle inférieur
To be continued ...

[gg0]

Pas pas moi,

vu que tu ne sembles pas tenir compte de mes propositions ....

[inviteca9b3b96]

Vos propositions ne me guident pas tellement dans la démarche.
Preuve de ma bonne foi, je m'en suis, en partie, sorti avec de la géométrie.
Je me suis inspiré d'un programme informatique :

avec E' la nouvelle position du point E après une transformation

Si ; alors pas de solution
Sinon, on a le couple de solutions :



Dans mon cas, la deuxième solution correspond au résultat que j'attends pour la coordonnée du point F.
avec


J'aurais aimé avoir une relation matricielle avec des matrices de rotations car j'ai plusieurs points qui sont rattachés au triangle (CDF) et qui subissent la même transformation que le point F. Comment puis je faire ?

En gros :
Matrice de départ * Matrice de rotation X = Matrice première
Matrice première* Matrice de rotation Y = Matrice intermédiaire
Matrice intermédiaire * Matrice de rotation Z = Matrice finale
Je parle de matrices contenant les coordonnées différents points subissant une transformation

Ouvert à toute suggestion