Probabilités - Moments de variables aléatoires

[Rizmoth]

Bonjour à tous !

En me replongeant un cours de probabilités, j'ai pu (re)lire la définition suivante.

Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité (mesure sur l'espace probabilisé).
On peut définir, pour tout n naturel non nul :
- son moment d'ordre n : c'est l'espérance de , définie par , si cette intégrale existe ;
- son moment centré d'ordre n :

J'ai bien compris que parmi ces moments, il y en a 2 que j'ai eu l'occasion d'utiliser depuis de nombreuses années :
- le moment d'ordre 1 : c'est l'espérance de X, tout simplement
- le moment centré d'ordre 2 : c'est la variance, égale au carré de l'écart-type

Dans le livre que j'étudie actuellement, après la définition est proposée une analogie (sans trop d'explication cependant) :

L'expression intégrale ci-dessus permet aussi d'interpréter comme le moment d'inertie de la répartition de masses définie par autour de son centre d'inertie

D'où ma requête. Comme mes souvenirs de mécanique de prépa sont un peu obscurs, j'aurais aimé un petit complément d'explication "physicienne" sur cette analogie, qui me semble cependant assez pertinente pour comprendre un peu ce que représente la variance

Par ailleurs, je me demandais : serait-il possible également de donner, de la même manière, une représentation de ce genre à certains moments d'ordre supérieur ?

D'ailleurs, a-t-on souvent recours aux moments d'ordre > 2 ? Dans quels contextes ?

Merci de vos éclairages !

Cordialement,
Rizmoth.
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[invite9dc7b526]

salut,

les moments d'ordre supérieur à 2, ainsi que d'autres moments, comme les moments factoriels ou les cumulants, peuvent servir en statistiques à l'estimation des paramètres d'une loi, quand ils ont une expression simple en fonction desdits paramètres.

[Rizmoth]

Merci pour cette réponse
Quand j'ai posé ma question, je n'avais pas encore rencontré la notion de moment factoriel (maintenant c'est le cas ), et ma question aurait pu être générale (et porter notamment sur les moments d'ordre non entier). Cela dit, pour ces moments plus particuliers, je pense qu'une analogie physique est beaucoup plus difficile à mettre en oeuvre ^^

A ce sujet, j'ai enfin vu que la relation entre variance et espérance était l'objet du Théorème de König-Huygens. Et évidemment, la vue de ces deux noms m'a mis la puce à l'oreille. Il suffisait de regarder l'expression du moment cinétique d'une répartition de masse autour d'un axe pour comprendre la correspondance formelle avec l'expression intégrale de la variance. Ce n'est finalement pas un hasard si on retrouve des théorèmes de König en mécanique et en statistiques

Pour en revenir à ton explication, minushabens, en fin de compte, les moments d'ordre supérieur sont surtout utiles car ils apportent des précisions sur la définition de la loi de probabilité de la variable ? (Un peu comme les dérivées d'ordre supérieur d'une fonction permettent de construire des approximations de la fonction elle-même ?)

Cordialement,
Rizmoth.