Sous groupes normaux et commutativité

[invite97a526b6]

Bonjour,

Je me pose la question suivante:
Est-ce que les deux affirmations suivantes sont vraies ?
1. Deux sous-groupes d'un même groupe qui commutent, alors l'un au moins est normal.
2. n sous-groupes d'un même groupe qui commutent (*), alors n-1 au moins sont normaux.
(*): ou faut-il dire "qui commutent deux à deux" ?

Cela me semble vrai mais j'ai des difficultés à le démontrer (ou à trouver un contre-exemple).
Merci pour réponses.
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[Seirios]

Bonjour,

Les sous-groupes et du produit libre commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

[invite97a526b6]

Bonjour,

Les sous-groupes et du produit libre commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

Merci. Je connais mal la notion de produit libre, je vais l'étudier.

Autre question:
Les réciproques de mes deux affirmations (fausses car contre-exemple) sont-elles vraies ?
Réciproque de 1. : Soient deux sous-groupes d'un même groupe dont l'un au moins est normal, alors ces deux sous-groupes commutent.
Réciproque de 2. : Soient n sous-groupes d'un même groupe dont n-1 au moins sont normaux, alors ces sous-groupes commutent.

Merci pour réponse et pardon si ces questions n'étaient pas pertinentes.

[Seirios]

Si tu prends un produit semi-direct (désolé pour la notation, mais \rtimes ne fonctionne pas sur le forum), alors est un sous-groupe distingué, mais et ne commutent que si le produit est en fait un produit direct. Donc tu peux trouver beaucoup de contre-exemples de cette manière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Si tu prends un produit semi-direct (désolé pour la notation, mais \rtimes ne fonctionne pas sur le forum), alors est un sous-groupe distingué, mais et ne commutent que si le produit est en fait un produit direct. Donc tu peux trouver beaucoup de contre-exemples de cette manière.

Merci beaucoup pour votre réponse.
Cette réponse m'interpelle car elle semble en contradiction avec un théorème d'un cours sur les groupes que j'ai suivi il y a quelques années :

Proposition de ce cours:
"Soient H₁ et H₂ deux sous-groupes d'un groupe G. Alors on a <H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2} dès que l'un au moins des deux groupes H₁ ou H₂ est normal dans G".

Comme rien ne distingue H₁ et H₂ dans cette proposition, on peut permuter a₁ et a₂ dans l'expression:<H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2}
et donc les deux sous-groupes sont permutables ?! ...

[invite97a526b6]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Cette réponse m'interpelle car elle semble en contradiction avec un théorème d'un cours sur les groupes que j'ai suivi il y a quelques années :

Proposition de ce cours:
"Soient H₁ et H₂ deux sous-groupes d'un groupe G. Alors on a <H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2} dès que l'un au moins des deux groupes H₁ ou H₂ est normal dans G".

Comme rien ne distingue H₁ et H₂ dans cette proposition, on peut permuter a₁ et a₂ dans l'expression:<H₁,H₂> = {a₁a₂, a₁€H₁, a₂€H2}
et donc les deux sous-groupes sont permutables ?! ...

Complément:
On a H₁H₂ = H₂H₁ mais pas nécessairement H₁H₂ normal dans G.

[Seirios]

Il faudrait préciser ce que tu entends par "sous-groupes qui commutent". Je l'ai compris comme " pour tous et ", alors que tu sembles plutôt considérer "".

[invite97a526b6]

Il faudrait préciser ce que tu entends par "sous-groupes qui commutent". Je l'ai compris comme " pour tous et ", alors que tu sembles plutôt considérer "".

Je considère la commutativité globale c'est à dire "" et non pas la commutativité élément par élément.

Je cite également le théorème suivant:
"Pour que le produit AB de deux sous-groupes A et B d'un groupe G soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit que A et B soient permutables" - Théorie des groupes de Paul Dubreil, page 24.

[Seirios]

D'accord, donc le contre-exemple que j'ai donné en #2 reste pertinent, et il est effectivement vrai que si l'un des deux sous-groupes est normal, disons , alors . En effet, pour tous et , , ce qui montre ; l'autre inclusion se montre de manière symétrique.

Ensuite, pour ta question :

Réciproque de 2. : Soient n sous-groupes d'un même groupe dont n-1 au moins sont normaux, alors ces sous-groupes commutent.

quelle est ta définition de n sous-groupes qui commutent ? Souhaites-tu qu'ils commutents deux à deux ou bien qu'ils commutent "globalement" ?

[invite97a526b6]

D'accord, donc le contre-exemple que j'ai donné en #2 reste pertinent, et il est effectivement vrai que si l'un des deux sous-groupes est normal, disons , alors . En effet, pour tous et , , ce qui montre ; l'autre inclusion se montre de manière symétrique.

Ensuite, pour ta question :

quelle est ta définition de n sous-groupes qui commutent ? Souhaites-tu qu'ils commutents deux à deux ou bien qu'ils commutent "globalement" ?

Ma df de sous-groupes qui commutent:
Soient H₁,...,H_n, n sous-groupes d'un groupe G, alors "ils commutent" est équivalent à H₁...H_n = H_s(1)...H_s(n) pour toute permutation s de {1,...,n}. C'est à dire ordre indifférent.
(En précisant que H₁...H_n := {a₁...a_n ; a_i€H_i}).

J'affirme alors (mais je n'en suis pas sûr):
Si cette commutation a lieu, il y a au moins n-1 sous-groupes qui sont normaux dans G (1er post de la discussion).
Le 3e post de la discussion est la question de la réciproque.

[Seirios]

Pour ta première question, mon message #2 donne un contre-exemple pour n=2. Pour la réciproque, le même raisonnement qu'au message #9 montre que si, parmi n sous-groupes, alors n-1 sont distingués, alors ils commutent. Par exemple, pour trois sous-groupes , on a pour tous , et , donc et . Après, il faut faire un petit effort de rédaction pour écrire une preuve qui tient la route.

[invite97a526b6]

Pour ta première question, mon message #2 donne un contre-exemple pour n=2. Pour la réciproque, le même raisonnement qu'au message #9 montre que si, parmi n sous-groupes, alors n-1 sont distingués, alors ils commutent. Par exemple, pour trois sous-groupes , on a pour tous , et , donc et . Après, il faut faire un petit effort de rédaction pour écrire une preuve qui tient la route.

Merci pour toutes ces précisions.
Je ne suis pas très familier avec la notion de groupe libre. Après avoir fait des recherches sur Internet, je ne comprends pas bien comment la combinaison réduite des éléments de "l'ensemble base" du groupe, à priori extérieur au groupe, s'insère dans le groupe...? Je peux comprendre seulement si l'ensemble base est un sous-groupe.
Peux-tu me donner quelques liens expliquant bien cette notion ?

[Seirios]

Un exemple plus simple : Soient deux groupes et , deux sous-groupes qui ne sont pas distingués. Alors et sont deux sous-groupes de qui commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

[invite97a526b6]

Un exemple plus simple : Soient deux groupes et , deux sous-groupes qui ne sont pas distingués. Alors et sont deux sous-groupes de qui commutent, mais aucun des deux n'est distingué.

En quoi ta réponse ci-dessus est-elle liée à la notion de groupe libre ? Je ne fais pas le rapprochement...

[Seirios]

En aucune façon : j'ai simplement donné un exemple pouvant remplacer mon message #2 et n'utilisant pas la notion de produit libre.