Souci avec les morphismes et les sous-groupes normaux

[PetiteAnne]

Bonjour !

Voilà, je suis en train de travailler depuis pas mal de temps sur un exercice dont je n'ai pas de réponse et mes amis que je connais non plus ... Malheureusement, même si je comprends l'exercice, je n'arrive pas à démontrer ce qu'il faut Or, il est très important car en plus, il est fort théorique et complet. Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Je vous remercie d'avance pour toute votre aide !

Voici le problème :

(G,.,1) et (G',.,1') sont deux groupes, f:G->G' est un morphisme surjectif de groupes et H un sous-groupes de G.
a) Sachant que ker(f)H={kH|k ker(f), h H}. Démontrez que :
.
Déduisez-en que si ker(f) est inclus dans H, alors .

b) Démontrez que si H est un sous-groupe normal de G, alors f(H) est un sous-groupe normal de G.

c) Supposons que H et K soient deux sous-groupes normaux dans G. Démontrez que si est un sous-groupe normal de . Puis, démontrez que pour tout x , , on trouve que .


Moi, j'essaie de répondre en commençant par ceci :
Pour le a), je commence par utiliser le fait que f est un morphisme surjectif. Or, l'image d'un morphisme de groupes est donnée par :
. f est surjectif si et seulement si son image est égale à G'.
Hélas, je n'ai pas l'impression que ce me soit d'une grande aide. Car ici, on s'occupe du sous-groupe H et non de G.
Mais je pense par contre que si j'applique f à chaque membre de l'équation et et que j'utilise le fait que :
, y a moyen de m'en sortir comme ceci :
Or,
Cependant, j'ai l'impression que c'est insuffisant, càd que ma réponse manque de justification, non ? Ou est-ce que ma façon de répondre est suffisamment justifiée mathématiquement parlant ?

Pour la suite càd pour , je me demandais si je ne pouvais pas tout simplement appliquer f des 2 côtés de l'égalité comme ceci : ?
Malheureusement, dans ce cas, je n'aurais pas utilisé l'information donnée à savoir que ker(f) est inclus dans H. Donc, y a de forte chance que ma mini démo soit fausse, non ?

b) Par définition, on sait qu'un sous-groupe H d'un groupe G est normal dans G si il est stable par conjugaison, càd si :

Notation :
J'applique le morphisme f à la définition ce qui donne :

Comme f est un morphisme, je peux écrire que :
(car tout morphisme préserve l'inverse et que h appartient à H).
Maintenant là aussi, je me demande si c'est bon et s'il ne manque pas des justifications ?

c) Pour le c), je n'arrive pas du tout avec la 1ère partie de la question mais pour la 2e partie, tout ce que je pense parvenir à démontrer c'est ceci (mais j'ai l'impression que ce n'est pas bon et que ce serait trop simple ) :
Si pour tout x , , on trouve que alors je me permets d'appliquer f à chaque côté ce qui donne :
équivalant à
Et là, je devrais utiliser la 1ère partie de la question c) que je n'ai pas su démontré à savoir que si est un sous-groupe normal de d'où .
Mais pour cet exercice, je crois bien que je me trompe sur de nombreux points

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? J'en ai vraiment besoin.

Merci d'avance pour toute votre aide !
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[inviteed684306]

Salut

a) Il est question de montrer l'égalité entre deux ensembles. Il faut le faire en montrant la double inclusion. C'est vraiment facile !

b) On n'a pas dit que G' était commutatif. Il faut prendre f(h) dans f(H) et y dans G'. te servir du faite que f est surjectif et H normal dans G

[azizovsky]

Salut , pour la question a) j'ai une idée , si ,on'a d'où et , tu n'a qu'a faire l'inverse .

[PetiteAnne]

Salut

a) Il est question de montrer l'égalité entre deux ensembles. Il faut le faire en montrant la double inclusion. C'est vraiment facile !

b) On n'a pas dit que G' était commutatif. Il faut prendre f(h) dans f(H) et y dans G'. te servir du faite que f est surjectif et H normal dans G

Hélas j'ai un peu honte mais j'avoue que je n'arrive toujours pas avec le a). Je ne vois pas comment employer la double inclusion ...

Par contre, je crois avoir réussi b) (effectivement, on n'a pas dit que G' était forcément commutatif. Mea culpa) alors j'ai fait autrement :
je pense avoir montré que quelque soit le sous-groupe H de G, f(H) est un sous-groupe de G', et quelque soit le sous-groupe H' de G', est un sous-groupe de G. En particulier, Im f est un sous-groupe de G' et ker f un sous-groupe de G (je me dis que ça peut aider pour les autres questions aussi) :
Démonstration :
car H est sous)groupe de G et f(1)=1. Donc f(H) est non vide.
Prenons , .
D'où H est sous-groupe de G'.
et f(1)=1 donc est non vide.
Soient .
Il existe alors et dans H' tels que et .
Donc
D'où d'où est un sous-groupe de G'.
CQFD ?

Pour azizovsky, merci pour votre réponse. Cependant, je ne comprends pas comment cela répond à la quesiont a). J'ai pas dit que c'était faux ce que vous avez écrit mais je ne comprends pas vraiment comment ça peut répondre à la a) ?

Et pour la c), je n'avance hélas pas

Est-ce que vous pensez que pour b), c'est bon ? Et est-ce que vous pouvez m'aider pour a) et c) s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteed684306]

a-) Je vais d'aider pour l'inclusion la plus difficile (à mon sens, bien sûr).
Il reste une précision (utile ici) à ta partielle preuve du b).
L'image réciproque d'un sous-groupe est un sous-groupe qui contient Kerf. Ainsi, est un sous-groupe de G contenant Kerf. Aussi, il est claire (essaye de démontrer) que contient également.
D'où .
Pour l'inclusion inverse, il faudra prendre un x dans ...

b-) Tu as juste montrer que f(H) était un sous-groupe. il reste montrer qu'il est normal. Pour ce faire, lis le post #2

c-) On montre de manière générale que est un sous-groupe normal de G et puisqu'il est contenu dans alors, est est aussi un sous-groupe normal de ce dernier.
En fait, si alors, pour tout (légitime puisque f est surjectif) on a

puisque H et K sont normaux.

Pour la suite, remarque que