Démonstration équation ellipses

[invited1ed38da]

Bonjour,

Voilà en physique et en maths on est tenu de savoir par cœur l'équation d'une ellipse (x/a)² + (y/b)² = 1
Récemment dans un exercice je suis tombé sur une plus subtile, (x/a)² + (y/b)² - (2xy/ab)cosθ = sin²θ où θ est un paramètre défini au préalable. Dans la correction de cette exercice on dit que l'ellipse est inscrite dans un rectangle de côtés 2a et 2b, que lorsque θ = 0 alors l'ellipse se confond avec l'une des diagonales de ce rectangle, que si θ = π l'ellipse se confond avec l'autre diagonale, que si a = b et θ = π/2 alors l'ellipse est un cercle...
Bref je ne connais rien de tout ça! J'essaie de trouver un cours sur les ellipses sur le net qui apprends ce genre de réflexe mais je ne trouve pas. J'aimerais savoir :

1) Comment met-on au point l'équation non réduite d'une ellipse ?
2) Quelles sont les valeurs remarquables des constantes de cette équation et leur signification géométrique?

Merci d'avance!
-----

[phys4]

Bonjour,
Voilà en physique et en maths on est tenu de savoir par cœur l'équation d'une ellipse (x/a)² + (y/b)² = 1

Bonjour, cette première ellipse simple est centrée sur l'origine et ses axes sont ceux du graphique, cela nous laisse beaucoup d'autres cas possibles.

Récemment dans un exercice je suis tombé sur une plus subtile, (x/a)² + (y/b)² - (2xy/ab)cosθ = sin²θ où θ est un paramètre défini au préalable. Dans la correction de cette exercice on dit que l'ellipse est inscrite dans un rectangle de côtés 2a et 2b, que lorsque θ = 0 alors l'ellipse se confond avec l'une des diagonales de ce rectangle, que si θ = π l'ellipse se confond avec l'autre diagonale, que si a = b et θ = π/2 alors l'ellipse est un cercle...

Celle là est centrée aussi mais avec une forme variable, si l'on remplace cos par +1 ou -1, il est facile de voir le regroupement avec les deux premiers termes.
Dans tous les si a = b, nous aurons une symétrie par échange d'axes.

1) Comment met-on au point l'équation non réduite d'une ellipse ?
2) Quelles sont les valeurs remarquables des constantes de cette équation et leur signification géométrique?

Voici un petit aperçu.
En partant de la première équation nous pouvons décentrer l'ellipse :
((x - xo)/a)² + ((y-yo)/b)² = 1
cette fois l'ellipse est centrée sur xo, yo

Je prends l'équation du second degré la plus générale :
Ax² + By² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey = F

C'est une conique en général et encore une ellipse si A et B, F sont positifs , les termes D et E indiquent qu'elle n'est pas centrée, le terme C indique que les axes sont obliques comme dans l'exemple précédent.
Au revoir.

[invited1ed38da]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse. Donc pour la démonstration que je cherche il faut que j'étudie les coniques, et l'ellipse est un cas particulier?

[phys4]

Oui si vous voulez comprendre les equations, toutes les équations en x,y du second degré sont des coniques.

Je pense que ce n'est pas trop difficile de reconnaitre le type d'après les coefficients.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1ed38da]

Après une toute petite recherche j'ai enfin trouvé le cours qui contient toutes les infos que je cherchais : celui sur les coniques. Merci beaucoup pour votre aide!