Min et max de 2 lois normales indépendantes
Bonjour,
Tout est dans le titre
Avec X(mx, ex), Y(my, ey), suivant une loi normale, non corrélées, et Z -> min(X, Y), est-ce Z suit une loi normale, et si oui quelles sont ses paramètres?
Même question pour max(X, Y)?
Je n'ai pas trouvé de références évidentes sur le web..
Merci.
Une méthode qui marche très bien pour résoudre ce genre de problème est de calculer la fonction de répartition de Z.
C'est bien ce que je voudrais eviter! La question me semblait classique, mais est-ce bien le cas... J'ai trouvé un doc, mais très aride et qui traite le cas plus compliqué où x et y sont corrélés.
Pourquoi éviter un calcul facile ? On obtient tout de suite la loi de Z ...
Je ne trouve pas ca si facile
Mais je viens de penser que je peux peut-être m'en sortir facilement avec Octave.
A la fin, si c'était facile en fait.
Je suis parti sur:
max: P{ max Xi < a } = P(X1 < a) * P(X2 < a)
min: P{ min Xi < a } = 1 - ( (1-P(X1 < a)) * (1-P(X2 < a)) )
les réponses venant de la:
http://stats.stackexchange.com/quest...es-distributed
http://www.math.ucsd.edu/~gptesler/2...13-handout.pdf
Raisonnablement, tu aurais pu trouver seul, c'est l'utilisation de règles de base en probas. Surtout si tu dois traiter le cas général de variables non indépendantes.
Cordialement.
Oui.
Mais si tu as la réponse pour la loi de max(X, Y), ou les liens vers les docs qui l'expliquent, ca m'intéresse.
Je voudrais faire Z ~ X1 + max(X2, X3), toutes les Xi étant gaussiennes et indépendantes....
Merci.
Ben ... tu as trouvé, non ? Tu connais le lien entre P(X<a) pour X continue et sa fonction de répartition.
Quant à trouver P(Z<a)=P(X1<A et X2<a)= P(X1<a)P(X2<a) c'est immédiat (définition du max + définition de l'indépendance).
Pour ton Z, l'application des règles classiques devrait suffire. Par exemple en utilisant la convolution des densités. Après, le calcul effectif peut présenter des difficultés, mais tu peux au moins commencer.
Question : Tu sembles vouloir faire des probas élaborées mais ne pas essayer d'appliquer simplement les règles élémentaires. Pourquoi ?
Cordialement.
Je ne comprend pas.
Par exemple, si Z ~ N(10, 5) + N(5, 2), je sais que Z ~ N(15, 29^0.5)
Je n'ai pas ce résultat pour Z ~ min(N(10, 5), N(5, 2))
J'ai pu contourner en passant par la fonction de répartition, mais je suis bloqué quand je veux faire W ~ max(N(10, 5), N(5, 2)) + N(14, 1)
Si je connaissais Z ~ N(?, ?) mon pb serait résolu.
> convolution des densités
Je vais regarder.
>Après, le calcul effectif peut présenter des difficultés
Ce n'est pas déjà résolu, tout comme le cas de l'addition?
> Question : Tu sembles vouloir faire des probas élaborées mais ne pas essayer d'appliquer simplement les règles élémentaires. Pourquoi ?
Je ne veux pas faire des probas du tout moi. J'ai besoin du résultat en fait (pour l'appliquer). Je pensais que c'était aussi documenté que X+Y. J'ai compris le passage par la fonction de répartition car c'est effectivement très simple. "convolution des densités" est un terme que je ne me souviens pas d'avoir entendu par contre.
Merci.
Ok.
Tu as juste besoin du résultat, qui est un peu compliqué. Tu n'y connais rien, mais tu manipules des variables aléatoires. Vois un mathématicien professionnel, il traitera professionnellement ton problème, et un professionnel se fait payer.
Sinon, la loi de min(X,Y) est bien connue, mais ce n'est pas une loi simple ("Si je connaissais Z ~ N(?, ?) mon pb serait résolu." montre que tu rêves un peu, la plupart des situations ne donnent pas une loi Normale). Et la loi de W ~ max(N(10, 5), N(5, 2)) + N(14, 1) où les trois variables aléatoires sont indépendantes est calculable, mais n'est pas non plus une loi simple.
Je te donne la densité de Z=min(X,Y), en supposant que e1 et e2 sont bien les écarts types :
Les intégrales n'ont malheureusement pas d'expressions simples.
Le max a une densité du même genre, et il faut encore, pour obtenir la densité de W faire un calcul de l'intégrale de la densité du max multipliée par une fonction proche de la densité de la loi Normale....
Cordialement.
C'est exactement ca que je voulais savoir (c'est-à-dire que c'est compliqué, que ca prend du temps à obtenir, et qu'on peut facilement se tromper vu la complexité de l'équation. L'"illustration" est très claire).
Juste un dernier doute: le contournement par la fonction de répartition marche parfois mais pas dans ce cas (W), c'est bien ca?
