Méthode générale pour les développements asymptotiques

[andreuxyoupi]

Bonsoir à tous

Je me pose une question bête, qu'on a déjà dû poser des millions de fois, veuillez m'en excuser. Cependant je n'ai rien trouvé sur Futura-Sciences qui puisse répondre à mon problème.
Je voudrais avoir une méthode générale pour trouver des développements asymptotiques ailleurs qu'en zéro. Quand je dis « générale », je pense particulièrement aux astuces du genre « factoriser par pour avoir des termes en » quand on cherche un développement asymptotique en l'infini, qui me marchent pas toujours.

Par exemple, comment trouver un développement en plus l'infini de la fonction ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Il n'y a pas de raison qu'existe une méthode générale. Il n'en existe déjà pas pour des DL en 0.

Pour la fonction cos à l'infini, quel type de comportement asymptotique lui vois-tu ?

Cordialement.

[andreuxyoupi]

Je me dis que le cosinus se comporte à l'infini comme il se comporte en zéro, mais même si ça paraît évident, ça n'est pas pour autant un argument valable.
Comment faire dans ce cas pour cette fonction ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Il n'y a pas de "méthode" générale pour déterminer le comportement asymptotique d'une fonction à l'infini. Il y a cependant une définition: la valeur à l'infini d'une fonction est (pour autant que la limite existe: voir la définition de limite à l'infini).

mais même si ça paraît évident

En math, s'il y a quelque chose d'évident, c'est que rien n'est évident (même pas 1+1=2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[plaxtor]

l n'y a pas de méthode générale, ça dépends comment est définie ta fonction.

Si elle est exprimée à l'aide des fonctions et opération usuelles on peut en fournir des DA. En fait l'idée de base c'est de factoriser ce que tu identifie comme la quantité prépondérante, et montrer que ce qu'il te reste est équivalent à un nombre :



Ici clairement par croissance comparée (), ton ln(x) est négligeable. Cette quantité sera donc équivalente à x.
Globalement si tu vois un '+', tu prends le terme prédominant. Si tu sais pas trop, tu factorise par celui que tu pressent le plus grand et tu regardes le quotient.

Si ta fonction est une somme (une série entière de rayon infini par exemple), ça peut être plus compliqué, et tu va essayer de te raccrocher à des fonctions connues (exponentielle par exemple).

Ta fonction peut être définie par une équation différentielle ou une intégrale, auquel cas diverses outils peuvent t'aider (convergence uniforme, caractérisation séquentielle, DSE, etc).
Ex :

Bref il y a foison d'exemples, mais pour des fonctions c'est généralement pas trop compliqué de trouver un DA. Et en 0 ou +oo c'est un peut pareil, suffit de prendre ta fonction en 1/x.
Mais les fonctions usuelles (ln, cos, exp, x^n, ...) n'ont pas d'autre équivalents plus simples qu'elles mêmes, et on se sert d'elles pour former d'autres DA.

En espérant avoir répondu à ta question,
Plaxtor.

[andreuxyoupi]

Bonsoir,

Il n'y a pas de "méthode" générale pour déterminer le comportement asymptotique d'une fonction à l'infini. Il y a cependant une définition: la valeur à l'infini d'une fonction est (pour autant que la limite existe: voir la définition de limite à l'infini).


En math, s'il y a quelque chose d'évident, c'est que rien n'est évident (même pas 1+1=2).

Ainsi, si j'écris "un développement asymptotique en plus l'infini de la fonction est

Capture d’écran (506).png ",

je n'écris pas une ânerie ? Mais comment faire pour des fonctions comme, par exemple,

Image.png ?

Et comment avoir, Plaxtor, le développement de l'exponentielle ?

[gg0]

Euh ... c'est un DL en 0 de cos que tu as écrit. Quel rapport avec ce qui se passe à l'infini où la partie polynôme que tu as écrite n'a rien à voir avec les valeurs d'un cos.
D'ailleurs, tu copies un passage où il est question de limite. Et tu ne t'es manifestement pas posé la question de la limite.

Bon, sérieusement, on ne calcule pas des développements asymptotiques "comme ça". On les écrit pour préciser ce qui se passe, une fois qu'on sait qu'il y a une limite nulle, non nulle ou infinie. Donc que ce soit pour cos ou pour ton deuxième exemple, on ne se pose pas cette question. Et pour l'exponentielle, on le connaît, c'est l'exponentielle. On ne va quand même pas préciser les fonctions de base ...

Donc actuellement tu perds ton temps. Lis vraiment les réponses pour les comprendre.

Cordialement.

[plaxtor]

La confusion entre DL en 0 et DA en +oo ... Ce que tu écris ce sont des formules qui marchent en 0. Un DA, en n'importe quel point permet d'approximer la fonction, travailler avec des quantités manipulables. En 0 on a Taylor qui fournit des DL, mais en +oo aucun rapport...

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Comme déjà dit par gg0, avant de calculer le développement asymptotique d'une fonction il faut déterminer si il y a un sens à effectuer ce développement au point voulu. Pour cela, étudier la limite de la fonction en ce point est utile: elle permet de déterminer si un tel développement asymptotique peut exister (la limite doit exister, ou être infinie le cas échéant).

Qu'obtenez-vous pour: ?