Parties compacts (boules fermés et ouvertes)

[invitef639ad4f]

bonjour a tous.
j'ai un problemedans un de mes exos.


je bloque a la premiere question. je sais que les compacts de Rn sont les fermés bornés.
Kn est borné par la boule fermé (0,n+1)et Kn un fermé privé d'union fini d'ouvert donc d'ouvert . je vois pas quoi faire. faut ilreflechir en terme de recouvrement ? ou avec les suites ?

pour la 2eme question je pense dire que Bf(aj,1/n+1) C B(0,||aj||+1/n+1) C B(0,n) pour n>n0
pour la 3eme jutilise la 2eme question et je dis qu'il y a au moins l'union des spheres de rayons entre n et n+1 donc au moins la sphere de rayon n+1
pour la 4 je fais tendre le rayon et ce qui me donne d'un coté R^n et de l'autre les points aj

enfin cest plus des intuitions..
si quelqu'un peut m'aider .
merci
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[invite2c458887]

Déjà es-tu capable de te représenter la "gueule" de Kn ? En fait c'est une boule de gruyère. Tu as une boule de départ, fermée. Puis tu lui retire des petite boules ouvertes un peu partout.
Maintenant intéressons nous à l'opérateur \ "privé de". Peux-tu exprimer A\B avec les opérations d'intersection ou d'union et de complémentaire ? Quel propriété existe-t-il entre des intersections, des unions, d'ouvert et de fermés ?

Je te laisse réflechir

Pour la deuxième, t'as une boule qui grossit....grossit.... quand va-t-elle absorber une boule située à une distance aj, dont le rayon est toujours inférieur à 1 ?

Pour la 3e il faut effectivement se servir de la 2e. Il y a plusieurs moyens de faire. Si pour chaque boule tu peux trouver un no... pour toutes les boules tu peux trouver un n1 ? Si tu sais que toutes les boules sont dans la grosse boule à un moment, comment justifier très simplement que cet ensemble est non vide (n'oublie pas que ta grosse boule est fermée, est les petites boules ouvertes, pense à la notion de frontière).

Pour la 4è il y a effectivement une notion de limite..... Tu prouve que les ak ne sont jamais dans l'union des Kn, et que tous les autres y sont

Pour la 5è, n'oublie pas que les aj sont tous distincts, tu peut faire intervenir la distance entre chacun.

Pour la 6è tu te sers de ce que as dit avant.

Franchement c'est QUE du visuel, tu fais un dessin tu as presque répondu à l'exercice.