Séries et suites

invite5e53c62e · 31/05/2015, 22h13

Bonjour
j'ai une suite a termes positfs verifiants $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ convergente; je veux demontrer que $\text{[math]}$ tend vers 0

je n'arrive pas a comprendre l'utlisation de l'inegalité sur les $\text{[math]}$
Merci

**phys4** · 31/05/2015, 23h13

Bonsoir,

Je panse que la convergence de la série implique que $\text{[math]}$ tende vers zéro plus vite que 1/n

En écrivant cette condition cela pourrait aider ?

**Seirios** · 01/06/2015, 08h46

Bonjour,

Je pense qu'un raisonnement pourrait être le suivant (comme la série ne fait intervenir que les $\text{[math]}$ , je supposerai sans perte de généralité que la suite est positive) :

Supposons par l'absurde que $\text{[math]}$ ne tende pas vers zéro. Alors il existe $\text{[math]}$ tel que, quelque soit $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ . Maintenant, si $\text{[math]}$ est assez grand, tu déduis de ton inégalité que les termes autour de $\text{[math]}$ ne sont pas loins : plus précisément, tu as $\text{[math]}$ . Ainsi, si je pose $\text{[math]}$ la partie entière de $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ implique que tous les $\text{[math]}$ sont supérieurs à $\text{[math]}$ , de sorte que $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est une expression qui ne dépend que de $\text{[math]}$ et pas de $\text{[math]}$ . Mais un tel $\text{[math]}$ peut être choisi arbitrairement grand, de sorte que si $\text{[math]}$ , alors on trouvera aussi que la somme associée à la série, évaluée entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , vaut au moins $\text{[math]}$ . Puis on recommence avec un $\text{[math]}$ , etc. Finalement, on conclut que la série est supérieure à $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , ce qui contredit sa convergence.

Par contre, mon argument ne semble pas exploiter le carré, donc le résultat semble correct même pour $\text{[math]}$ .

invite5e53c62e · 01/06/2015, 12h18

Salut

Je connais un raisonnement similaire vue quelque part

Supposons que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et soit
$\text{[math]}$ minimal tel que $\text{[math]}$ (s'il
existe). D'après la condition sur la suite et
l'inégalité triangulaire, on a $\text{[math]}$ , de
sorte que $\text{[math]}$

On en déduit plus généralement l'inégalité
$\text{[math]}$

ce raisonnement prouve que la suite tend vers 0 si la série des a_n /n estconvergente

mais il ya un probleme dans ton raisonnement l'inegalité triangulaire est vraie pour les a_n et non pas pour les (a_n)²

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite5e53c62e · 01/06/2015, 12h27

Salut
je demande à un Admin de supprimer la phrase de mon dernier message
mais il ya un probleme dans ton raisonnement l'inegalité triangulaire est vraie pour les a_n et non pas pour les (a_n)²

**Seirios** · 01/06/2015, 15h20

Envoyé par maximeciel

mais il ya un probleme dans ton raisonnement l'inegalité triangulaire est vraie pour les a_n et non pas pour les (a_n)²

Tu pourrais être plus précis ? Je ne vois pas ce qui te pose problème.

invite5e53c62e · 01/06/2015, 19h33

D'abord merci infiniment

Mon soucis pourq uoi on peut minorer dans chaque etape par le meme $\text{[math]}$
Pour etre plus precis a la premiere etape on minore par $\text{[math]}$
a la deuxieme etape on minore par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ mais pourquoi d'une maniere clair on a $\text{[math]}$

**Seirios** · 01/06/2015, 20h23

Comme $\text{[math]}$ est la partie entière de $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ . On a donc bien $\text{[math]}$ qui ne dépend que de $\text{[math]}$ et non de $\text{[math]}$ .

invite5e53c62e · 01/06/2015, 22h08

Salut
cette fois ci on tombe sur un autre problème. Ona aucun controle sur
\epsilon et donc on peut avoir $\text{[math]}$ et tu peux pas conclure vers la fin car $\text{[math]}$ peut tendre vers $\text{[math]}$

**Seirios** · 01/06/2015, 22h45

Tu as raison, mais le problème peut s'arranger en affinant l'inégalité que j'ai utilisée : quitte à choisir $\text{[math]}$ assez grand, on aura $\text{[math]}$ .

invite5e53c62e · 02/06/2015, 08h45

Merci
Tu peux rendre plus clair la fin de ta demonstration

Finalement, on conclut que la série est supérieure à pour tout

Merci

**Seirios** · 02/06/2015, 12h53

Ce que je montre, c'est que pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . Donc si tu prend $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ peut être choisi arbitrairement grand, on en conclut que la série diverge.

Maintenant, la rédaction est à travailler, mais je te laisse ce travail

invite5e53c62e · 02/06/2015, 13h04

Merci c'et plus clair car j'ai senti une confusion avec N de ton premier envoie
Merci encore c'est très instructif

invite5e53c62e · 02/06/2015, 18h07

Salut
peut on être groumant ? et démontrer cette fois ci que la série $\text{[math]}$ est convergente
je ne trouve pas un contre exemple evident

**phys4** · 02/06/2015, 18h44

Re, je fais un petit retour :

Envoyé par maximeciel

Salut
peut on être groumant ? et démontrer cette fois ci que la série $\text{[math]}$ est convergente
je ne trouve pas un contre exemple evident

Je pense que cela ne fonctionne pas avec les conditions données, essayez donc
$\text{[math]}$

invite5e53c62e · 02/06/2015, 18h58

Salut
peut on être groumant ? et démontrer cette fois ci que la série $\text{[math]}$ est convergente
je ne trouve pas un contre exemple evident

invite5e53c62e · 02/06/2015, 19h00

salut
il y a un moyen simple pour vérifier que cette suite proposée vérifie l inegalité

**Seirios** · 02/06/2015, 19h43

Il me semble bien que, si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est convergente, mais la série $\text{[math]}$ diverge.

invite5e53c62e · 02/06/2015, 21h53

salut
oui il est bon
Merci infiniment

invite5e53c62e · 03/06/2015, 11h00

Salut
si je remplace la condition sur les $\text{[math]}$ et les $\text{[math]}$ par la limite de $\text{[math]}$ egale à 0. Je cherche si le resultat reste vrai o

**Seirios** · 03/06/2015, 13h16

Une suite constante (non nulle) me semble donner un contre-exemple

invite5e53c62e · 03/06/2015, 17h42

Mais que font nous de l' hypothèse sur la convergence de la serie $\text{[math]}$ car dans ton exemple c'est la série harmonique qui diverge

**Seirios** · 03/06/2015, 19h16

Absolument, je ne sais pas pourquoi j'ai donné cet exemple... Je vais y réfléchir.

invite93e0873f · 03/06/2015, 21h21

Envoyé par maximeciel

Salut
si je remplace la condition sur les $\text{[math]}$ et les $\text{[math]}$ par la limite de $\text{[math]}$ egale à 0. Je cherche si le resultat reste vrai o

Bonjour,

Dans ce cas, la suite des $\text{[math]}$ n'a pas à converger vers 0 et peut admettre des points d'accumulations dans un intervalle de la forme $\text{[math]}$ . La raison est que les $\text{[math]}$ peuvent varier relativement rapidement, c'est-à-dire que la suite des $\text{[math]}$ peut converger vers 0 lentement.

Par exemple, considérons une suite d'intervalles disjoints d'entiers naturels, disons $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Supposons que la différence $\text{[math]}$ soit strictement croissante en m, mais pas trop, en ce sens le réel $\text{[math]}$ (qui est assurément inférieur à $\text{[math]}$ ) s'avère inférieur à $\text{[math]}$ . Par exemple, prendre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ fonctionne pour m assez grand. Alors, il suffit de choisir les $\text{[math]}$ comme valant 0 si $\text{[math]}$ et, pour $\text{[math]}$ , de laisser varier les $\text{[math]}$ à « vitesse constante » entre 0 et 1 « avec un rebond » sur la valeur 1. Ce faisant, la fonction $\text{[math]}$ est à support dans $\text{[math]}$ , varie entre 0 et 1 et son graphe ressemble à des triangles espacés de plus en plus larges et donc plats.

invite5e53c62e · 04/06/2015, 00h01

merci pour ce contre exemple

invite5e53c62e · 04/06/2015, 23h14

Salut
si la serie $\text{[math]}$ converge et $\text{[math]}$ ; je pense que la suite ne converge pas necessairement vers 0

qu'en pensez vous

**phys4** · 05/06/2015, 08h28

Bonjour,

Je pense que la condition de série convergente suffi à dire que la suite converge vers zéro :
La série 1/n doit obligatoirement être multipliée par une suite qui tend vers zéro pour pouvoir converger, donc $\text{[math]}$ ne peut que tendre vers zéro.

Je ne vois pas d'autre possibilité pour a_n que de tendre vers zéro également.

invite5e53c62e · 05/06/2015, 08h46

Bonjour phys 4
As tu regarder le contre exemple donné par Universus . il a donné une serie convergence meme avec la diffirence a_{n+1}-a_n qui tend vers 0 mais la suite ne converge pas vers 0

**phys4** · 05/06/2015, 09h10

Les messages 21 et 24 n'utilisent pas la série convergente !

**Seirios** · 05/06/2015, 09h54

Envoyé par phys4

Je pense que la condition de série convergente suffi à dire que la suite converge vers zéro :
La série 1/n doit obligatoirement être multipliée par une suite qui tend vers zéro pour pouvoir converger, donc $\text{[math]}$ ne peut que tendre vers zéro.

Je ne vois pas d'autre possibilité pour a_n que de tendre vers zéro également.

Considérons la suite $\text{[math]}$ . Alors la série $\text{[math]}$ coïncide avec la série $\text{[math]}$ , qui est convergente. Pourtant $\text{[math]}$ ne converge pas vers zéro.

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