Séries et suites

[invite5e53c62e]

Bonjour
j'ai une suite a termes positfs verifiants avec convergente; je veux demontrer que tend vers 0

je n'arrive pas a comprendre l'utlisation de l'inegalité sur les
Merci
-----

[phys4]

Bonsoir,

Je panse que la convergence de la série implique que tende vers zéro plus vite que 1/n

En écrivant cette condition cela pourrait aider ?

[Seirios]

Bonjour,

Je pense qu'un raisonnement pourrait être le suivant (comme la série ne fait intervenir que les , je supposerai sans perte de généralité que la suite est positive) :

Supposons par l'absurde que ne tende pas vers zéro. Alors il existe tel que, quelque soit , il existe vérifiant . Maintenant, si est assez grand, tu déduis de ton inégalité que les termes autour de ne sont pas loins : plus précisément, tu as . Ainsi, si je pose la partie entière de , alors implique que tous les sont supérieurs à , de sorte que , où est une expression qui ne dépend que de et pas de . Mais un tel peut être choisi arbitrairement grand, de sorte que si , alors on trouvera aussi que la somme associée à la série, évaluée entre et , vaut au moins . Puis on recommence avec un , etc. Finalement, on conclut que la série est supérieure à pour tout , ce qui contredit sa convergence.

Par contre, mon argument ne semble pas exploiter le carré, donc le résultat semble correct même pour .

[invite5e53c62e]

Salut

Je connais un raisonnement similaire vue quelque part

Supposons que avec et soit
minimal tel que (s'il
existe). D'après la condition sur la suite et
l'inégalité triangulaire, on a , de
sorte que

On en déduit plus généralement l'inégalité


ce raisonnement prouve que la suite tend vers 0 si la série des a_n /n estconvergente

mais il ya un probleme dans ton raisonnement l'inegalité triangulaire est vraie pour les a_n et non pas pour les (a_n)²

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5e53c62e]

Salut
je demande à un Admin de supprimer la phrase de mon dernier message
mais il ya un probleme dans ton raisonnement l'inegalité triangulaire est vraie pour les a_n et non pas pour les (a_n)²

[Seirios]

mais il ya un probleme dans ton raisonnement l'inegalité triangulaire est vraie pour les a_n et non pas pour les (a_n)²

Tu pourrais être plus précis ? Je ne vois pas ce qui te pose problème.

[invite5e53c62e]

D'abord merci infiniment

Mon soucis pourq uoi on peut minorer dans chaque etape par le meme
Pour etre plus precis a la premiere etape on minore par
a la deuxieme etape on minore par avec mais pourquoi d'une maniere clair on a

[Seirios]

Comme est la partie entière de , on a . On a donc bien qui ne dépend que de et non de .

[invite5e53c62e]

Salut
cette fois ci on tombe sur un autre problème. Ona aucun controle sur
\epsilon et donc on peut avoir et tu peux pas conclure vers la fin car peut tendre vers

[Seirios]

Tu as raison, mais le problème peut s'arranger en affinant l'inégalité que j'ai utilisée : quitte à choisir assez grand, on aura .

[invite5e53c62e]

Merci
Tu peux rendre plus clair la fin de ta demonstration

Finalement, on conclut que la série est supérieure à pour tout

Merci

[Seirios]

Ce que je montre, c'est que pour tout , il existe et tels que . Donc si tu prend avec , alors . Comme peut être choisi arbitrairement grand, on en conclut que la série diverge.

Maintenant, la rédaction est à travailler, mais je te laisse ce travail

[invite5e53c62e]

Merci c'et plus clair car j'ai senti une confusion avec N de ton premier envoie
Merci encore c'est très instructif

[invite5e53c62e]

Salut
peut on être groumant ? et démontrer cette fois ci que la série est convergente
je ne trouve pas un contre exemple evident

[phys4]

Re, je fais un petit retour :

Salut
peut on être groumant ? et démontrer cette fois ci que la série est convergente
je ne trouve pas un contre exemple evident

Je pense que cela ne fonctionne pas avec les conditions données, essayez donc

[invite5e53c62e]

Salut
peut on être groumant ? et démontrer cette fois ci que la série est convergente
je ne trouve pas un contre exemple evident

[invite5e53c62e]

salut
il y a un moyen simple pour vérifier que cette suite proposée vérifie l inegalité

[Seirios]

Il me semble bien que, si , alors et est convergente, mais la série diverge.

[invite5e53c62e]

salut
oui il est bon
Merci infiniment

[invite5e53c62e]

Salut
si je remplace la condition sur les et les par la limite de egale à 0. Je cherche si le resultat reste vrai o

[Seirios]

Une suite constante (non nulle) me semble donner un contre-exemple

[invite5e53c62e]

Mais que font nous de l' hypothèse sur la convergence de la serie car dans ton exemple c'est la série harmonique qui diverge

[Seirios]

Absolument, je ne sais pas pourquoi j'ai donné cet exemple... Je vais y réfléchir.

[Universus]

Salut
si je remplace la condition sur les et les par la limite de egale à 0. Je cherche si le resultat reste vrai o

Bonjour,

Dans ce cas, la suite des n'a pas à converger vers 0 et peut admettre des points d'accumulations dans un intervalle de la forme . La raison est que les peuvent varier relativement rapidement, c'est-à-dire que la suite des peut converger vers 0 lentement.

Par exemple, considérons une suite d'intervalles disjoints d'entiers naturels, disons avec . Supposons que la différence soit strictement croissante en m, mais pas trop, en ce sens le réel (qui est assurément inférieur à ) s'avère inférieur à . Par exemple, prendre et fonctionne pour m assez grand. Alors, il suffit de choisir les comme valant 0 si et, pour , de laisser varier les à « vitesse constante » entre 0 et 1 « avec un rebond » sur la valeur 1. Ce faisant, la fonction est à support dans , varie entre 0 et 1 et son graphe ressemble à des triangles espacés de plus en plus larges et donc plats.

[invite5e53c62e]

merci pour ce contre exemple

[invite5e53c62e]

Salut
si la serie converge et ; je pense que la suite ne converge pas necessairement vers 0

qu'en pensez vous

[phys4]

Bonjour,

Je pense que la condition de série convergente suffi à dire que la suite converge vers zéro :
La série 1/n doit obligatoirement être multipliée par une suite qui tend vers zéro pour pouvoir converger, donc ne peut que tendre vers zéro.

Je ne vois pas d'autre possibilité pour a_n que de tendre vers zéro également.

[invite5e53c62e]

Bonjour phys 4
As tu regarder le contre exemple donné par Universus . il a donné une serie convergence meme avec la diffirence a_{n+1}-a_n qui tend vers 0 mais la suite ne converge pas vers 0

[phys4]

Les messages 21 et 24 n'utilisent pas la série convergente !

[Seirios]

Je pense que la condition de série convergente suffi à dire que la suite converge vers zéro :
La série 1/n doit obligatoirement être multipliée par une suite qui tend vers zéro pour pouvoir converger, donc ne peut que tendre vers zéro.

Je ne vois pas d'autre possibilité pour a_n que de tendre vers zéro également.

Considérons la suite . Alors la série coïncide avec la série , qui est convergente. Pourtant ne converge pas vers zéro.