Séries et suites

[invite5e53c62e]

SALUT
Merci pour cet exemple.
Il me semble etrangement que si la serie converge on a cette equivalence
tend vers 0 equivalent à à partir dun certain rang
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[phys4]

En effet il faut ajouter une condition de continuité.

[invite5e53c62e]

Je pense que c'est faux en s'inspirant de l'exemple de Seirios

si on prend si n est paire et 0 si n est imapir. On voit que a_n tend vers 0 mais en considerant les pairs et les impair l'inegalité est fausse. je me trompes?

[Universus]

En effet, ça donne un contre-exemple à l'équivalence conjecturée.

Plus généralement, considérant que la série est convergente dès que , nous voyons que si est une suite qui est quand pour un certain , alors la série converge. (Le dernier exemple donné par Seirios montre que cette condition sur la suite n'est pas nécessaire pour la convergence de cette dernière série.)

Or, quand est très près de 0, la fonction ressemble à la fonction constante 1 pendant très longtemps. Pendant ce temps, il y a une grande liberté pour que les oscillent entre 0 et une valeur (localement) presque fixe, ce qui donne la chance de violer l'inégalité sur les . C'est ce que vous avez fait.

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La démonstration donnée par Seirios dans ses premiers messages s'adapte à un cas plus général. Posons et considérons les cas où cette suite tend vers 0. Supposons que la suite ne converge pas vers 0.

Nous pouvons effectuer le même genre d'estimations que Seirios (en posant comme la partie entière de ) afin d'obtenir un critère : si la suite est bornée supérieurement, alors la série ne converge pas. Par contraposée, si converge, alors doit tendre vers 0 strictement plus lentement que .

Mon contre-exemple du message 24 va dans ce sens, d'où mon « les convergent vers 0 relativement lentement ». Je remarque aussi que mon contre-exemple peut être adapté afin de trouver une suite admettant comme sous-suite n'importe quelle suite ; il suffit grosso modo de choisir les et les de façon à ce que et de prendre .

[Seirios]

En effet il faut ajouter une condition de continuité.

Comment ça une condition de continuité ? Comme on travaille avec des suites... Cela dit, même si l'on se place dans le monde des fonctions, en remplaçant les séries par des intégrales, ce genre de phénomènes perdure, il suffit d'utiliser des fonctions [TEX]C^{\infty}[TEX] à support comcpact pour lisser les choses.

[invite5e53c62e]

merci Universus et Seirios
Vraiment c'est de l'analyse fine

[invite5e53c62e]

Salut
Je n'arrive pas a demontrer clairement en suivant les idées de Universus que si la serie converge alors la suite tend vers 0

[Universus]

Normal, puisque je n'ai jamais prétendu cela ! D'ailleurs, vous ne pourrez jamais démontrer cela, puisque c'est faux : le contre-exemple donné par Seirios à phys4 est un contre-exemple à ce que vous prétendez aussi.

[invite5e53c62e]

explique moi cette phrase Cette phrase
Par contraposée, si ... converge, alors.. .doit tendre vers 0 strictement plus lentement que .


doit tendre vers 0 strictement plus lentement que signifie pour moi d'a bord elle doit tendre vers 0

[Universus]

D'accord, je pensais que vous énonciez quelque chose de général.

Si vous relisez bien la seconde partie de mon message d'hier, vous verrez que je suppose d'entrée de jeu que la suite des converge. Sans cette hypothèse, nous ne pourrions pas exclure les cas comme celui présenté par Seirios. La suite du message montre seulement que la condition « converge » implique une contrainte sur la « vitesse de convergence » des .

[invite5e53c62e]

merci c'st plus clair