Bonjour.
Mon exercice est le suivant:
f(x): l'intégrale de 0 à + infini de exp(-t*(t+x)) dt
Domaine de définition de f et equivalent de f en + infini.
Alors pour le domaine de définition, j'ai trouvé R.
Pour l'équivalent je ne sais pas d'où partir.j'avais pensais a une comparaison série intégrale mais icij'ai une intégrale a double paramètre.
je peux peux etre trouver une équoi diff vérifié par f en montrant que f est C1.
bref, je ne sais pas par ou commencer. merci de m'aider. Merci.
Un changement de variable serait ici le bienvenu (u=xt). Ensuite tu te débrouille par encadrement ou caractérisation séquentielle.
Bonjour.
Une autre voie est sans doute de poser
-t(t+x)=-t²-tx=-(t+x/2)²+x²/4, de sortir l'exponentielle de x²/4 de l'intégrale et de te ramener à l'intégrale de la fonction de Gauss.
Cordialement.
bonjour. je suis d'accord avec vous mais pour faire apparaitre l'intégrale de gauss je pose t+x/2 une variable (u par exemple).Mais dans ce cas, mon intégrale ne commence plus a 0 mais à x/2.
Plaxtor. je ne sais pas comment on peux encadrer cette intégrale par une fonction . si vous pouvez un peu plus développer ( sans faire le travail à ma place) merci.
Ton intégrale vaut en posant u=xt (x>0 au voisinage de +oo).
On "voit" que quand x tends vers +oo, u/x^2 s'annule et ton intégrale tend vers 1. Pour prouver ça, tu poses x=an une suite qui tends vers +oo, et tu montre une convergence uniforme de ta suite ce qui justifie l'interversion limite/intégrale
Ou si tu ne connais pas ce théorème tu te débrouille pour encadrer par deux truc qui tendent vers 1. A droite c'est facile car c'est toujours inférieur à :
A gauche je te laisse réfléchir un peu...
ahhh d'accord je vois. oui je connais ce théorème. je vais essayer avec ce théorème mais aussi avec l'encadrement. (surtout pour la partie de gauche). merci de votre aide.
Bon pour l'encadrement à gauche j'ai pas trouvé. Par contre avec l'autre méthode, j'ai montré que f' est négativeet que f est positive donc f converge . J'en ai dédui avec le théorème de convergence dominé que f tend vers 0 en + l'infini. Mais est pas ce que je veux. moi je veux un équivalent. Je suis perdu là.
Montre que l'intégrale dans l'expression que je t'ai donnée tends vers 1. Du coup ton équivalent ça sera 1/x
A+
ok ça va merci Plaxtor. j'ai compris.
Juste par simple curiosité, tu peux me dire comment tu aurais fais pour encadre l'intégraleà gauche?
Merci et bonne journée.
J'ai pas trop réfléchis dessus, mais je pense que je couperais l'intégrale en 2. Doit y avoir un truc pas trop compliqué qui marche
