Petite démonstration algèbre.

[gloups13]

étaitonjour.

Voici mon problème.
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que u est combinaison linéaire des u puissance (k) avec k supérieur ou égal à 2 si et seulement si Im(u) et ker(u) sont supplémentaire dans E.

Voila ce que j'ai fais.
Pour le sens direct j'ai reussi a montre que l'intersection de im(u) et de Ker(u) etait vide. Par conte, par analyse et synthèse, je n'arrive pas à trouver deux eléments de Im(u) et de Ker(u) tel que leur somme soit un élément de E .
Pour l'autre sens, j'arrive à rien .
svp aidez moi. merci
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[invite2c458887]

Salut à toi!
Ça serait bien que ceux qui demandent de l'aide précisent leur niveau d'étude pour savoir comment orienter la réponse!

Pour le sens direct comment tu as procédé ? Tu as le théorème du rang qui est pratique...

[invite2c458887]

Pour l'autre sens tu peux penser à une base de Im(u), que peux tu alors dire, si tu prends un x dans Im(u), de u(x), u²(x),..u^k(x) ?

[invite9dc7b526]

(...) j'ai reussi a montre que l'intersection de im(u) et de Ker(u) etait vide.

attention, certains profs chatouilleux voient rouge quand ils lisent ce genre d'approximation...

[A voir en vidéo sur Futura]